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Forum "Funktionalanalysis" - konvexe Funktion
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konvexe Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:57 Di 03.03.2009
Autor: Riley

Aufgabe
Es sei \ [mm] \cdot \|: [/mm] X [mm] \rightarrow [/mm] [0, [mm] \infty) [/mm] eine Norm auf den Vektorraum X. Zu zeigen: Für jedes f [mm] \in [/mm] X ist die Funktion [mm] \phi: [/mm] X [mm] \rightarrow [0,\infty) [/mm] mit [mm] \phi(u) [/mm] = [mm] \| [/mm] f - u [mm] \| [/mm] konvex.

Hallo,
[mm] \phi [/mm] ist konvex, genau dann wenn

[mm] \phi(a [/mm] x + (1-a) y) [mm] \leq [/mm] a [mm] \phi(x) [/mm] + (1-a) [mm] \phi [/mm] (y).

Also

[mm] \phi(ax [/mm] + (1-a) y) = [mm] \| [/mm] f - ax - (1-a)y [mm] \| [/mm]

Wie komm ich da aber nun auf ... = a [mm] \|f [/mm] -x [mm] \| [/mm] + (1- a) [mm] \|f-y\| [/mm] ?

Oder muss ich da ganz anders rangehen? Wär super, wenn jemand einen tip für mich hat!
Viele Grüße,
Riley


        
Bezug
konvexe Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:20 Di 03.03.2009
Autor: fred97


> Es sei \ [mm]\cdot \|:[/mm] X [mm]\rightarrow[/mm] [0, [mm]\infty)[/mm] eine Norm auf
> den Vektorraum X. Zu zeigen: Für jedes f [mm]\in[/mm] X ist die
> Funktion [mm]\phi:[/mm] X [mm]\rightarrow [0,\infty)[/mm] mit [mm]\phi(u)[/mm] = [mm]\|[/mm] f
> - u [mm]\|[/mm] konvex.
>  Hallo,
>  [mm]\phi[/mm] ist konvex, genau dann wenn
>  
> [mm]\phi(a[/mm] x + (1-a) y) [mm]\leq[/mm] a [mm]\phi(x)[/mm] + (1-a) [mm]\phi[/mm] (y).
>  
> Also
>  
> [mm]\phi(ax[/mm] + (1-a) y) = [mm]\|[/mm] f - ax - (1-a)y [mm]\|[/mm]


[mm]\phi(ax[/mm] + (1-a) y) = [mm]\|[/mm] f - ax - (1-a)y [mm]\|[/mm]  = [mm]\|[/mm] af - ax + (1-a)f- (1-a)y [mm]\|[/mm]  = [mm]\|[/mm] a(f - x) + (1-a)(f- y) [mm]\|[/mm]  
Jetzt Dreiecksungleichun

FRED


>
> Wie komm ich da aber nun auf ... = a [mm]\|f[/mm] -x [mm]\|[/mm] + (1- a)
> [mm]\|f-y\|[/mm] ?
>  
> Oder muss ich da ganz anders rangehen? Wär super, wenn
> jemand einen tip für mich hat!
>  Viele Grüße,
>  Riley
>  
>  

Bezug
                
Bezug
konvexe Funktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:42 Di 03.03.2009
Autor: Riley

Hallo Fred,
danke für die schnelle Antwort, sehr cool :-).
Viele Grüße,
Riley
Bezug
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