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konvex und konkav bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:54 Fr 07.12.2012
Autor: zitrone

Hallo!

Ich hab folgende Funktion bekommen:

f(x)= [mm] x^4 [/mm] - [mm] 4x^3 [/mm] + [mm] 5x^2 [/mm] - 2x
f'(x)= [mm] 4x^3 [/mm] - [mm] 12x^2 [/mm] + 10x - 2
f''(x)= [mm] 12x^2 [/mm] - 24x + 10

Nun soll ich bestimmen, wann die Funktion konvex ist und wann konkav. Vorab: Ich weiß was die Begriffe bedeuten. Das ist nicht das Problem.
Nun hab ich herausgefunden, dass wenn f''(x)>0, dann konvex und wenn f''(x)<0, dann konkav.

Ich hätte jetzt gesagt, dass alles was 0< ist größer 0 sein müsste. Also:
konvex: [mm] [1,\infty) [/mm]
konkav: [mm] (-\infty,1] [/mm]

Oder ist das falsch?

Könnte mir bitte wer helfen?:/

LG zitrone

        
Bezug
konvex und konkav bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:04 Fr 07.12.2012
Autor: abakus


> Hallo!
>  
> Ich hab folgende Funktion bekommen:
>  
> f(x)= [mm]x^4[/mm] - [mm]4x^3[/mm] + [mm]5x^2[/mm] - 2x
>  f'(x)= [mm]4x^3[/mm] - [mm]12x^2[/mm] + 10x - 2
>  f''(x)= [mm]12x^2[/mm] - 24x + 10
>  
> Nun soll ich bestimmen, wann die Funktion konvex ist und
> wann konkav. Vorab: Ich weiß was die Begriffe bedeuten.
> Das ist nicht das Problem.
>  Nun hab ich herausgefunden, dass wenn f''(x)>0, dann
> konvex und wenn f''(x)<0, dann konkav.

Hallo,
f''(x) ist eine quadratische Funktion, und wegen des (positiven) Faktors 12 vor dem [mm] $x^2$ [/mm] haben wir eine nach oben geöffnete Parabel.
Solche Parabeln haben NUR zwischen ihren Nullstellen negative Werte.
Gruß Abakus

>  
> Ich hätte jetzt gesagt, dass alles was 0< ist größer 0
> sein müsste. Also:
>  konvex: [mm][1,\infty)[/mm]
>  konkav: [mm](-\infty,1][/mm]
>  
> Oder ist das falsch?
>  
> Könnte mir bitte wer helfen?:/
>  
> LG zitrone


Bezug
                
Bezug
konvex und konkav bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:14 Fr 07.12.2012
Autor: zitrone

Hallo abakus!

Danke für die Antwort!:)

Also heißt das im Endeffekt, dass ich die Nullstellen berechnen muss, um dann deren Abstände als konkav oder konvex angeben kann?

LG zitrone

Bezug
                        
Bezug
konvex und konkav bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:21 So 09.12.2012
Autor: Martinius

Hallo zitrone,

Du musst die Wendepunkte Deiner Funktion berechnen.

An den Wendepunkten ändert sich die Kurvenkrümmung.

Ich habe: WP1: [mm] $x_1\;=\;1-\wurzel{\frac{1}{6}}$ [/mm]   und   WP2: [mm] $x_2\;=\;1+\wurzel{\frac{1}{6}}$ [/mm]

Vor [mm] x_1 [/mm] ist Deine Funktion linksgekrümmt (konvex).

Zwischen [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] ist Deine Funktion rechtsgekrümmt (konkav).

Nach [mm] x_2 [/mm] ist Deine Funktion wieder linksgekrümmt (konvex).


LG, Martinius

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