konvex und konkav < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben sei die Funktion f: [mm] \IR+ \to \IR+ [/mm] mit
f(x)= [mm] x*exp(-x^2/2)
[/mm]
Bestimmen sie alle Intervalle in [mm] \IR+,in [/mm] denen f konvex oder konkav ist. |
Also,die Bedingung für Kovexität ist ja [mm] f''(x)\ge0 \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] I
und die Bedingung für Konkavität ist ja [mm] f''(x)\le0 \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] I
Also leite ich erstmal ab.
f'(x)= e hoch [mm] -x^2/2 [/mm] * [mm] (-x^2+1)
[/mm]
f''(x)= e hoch [mm] -x^2/2 *(x^3-3x)
[/mm]
So wie gehe ich denn jetzt weiter vor,danke.
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Hallo scientyst!
Bestimme nun die Nullstellen der 2. Ableitung, denn nur an diesen Stellen kann die Kurve von konvex nach konkav (oder umgekehrt) wechseln.
Um dann zu entscheiden, ob konvex oder konkav, setze Werte ungleich den eben ermittelten Nullstellen ein.
Gruß vom
Roadrunner
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Nullstellen:
[mm] f''(x)=-e^x [/mm] * [mm] (x^2+4x+2)
[/mm]
f''(x)=0
[mm] 0=-e^x [/mm] * [mm] (x^2+4x+2)
[/mm]
1.Fall [mm] -e^x \ge [/mm] falsch x [mm] \in \IR [/mm] und [mm] (x^2+4x+2) \ge0
[/mm]
2.Fall [mm] -e^x \le [/mm] wahr x [mm] \in \IR [/mm] und [mm] (x^2+4x+2) \le0
[/mm]
[mm] (x^2+4x+2) \le0
[/mm]
jetzt komme ich irgendwie nicht weiter,hoffe das du mir wieder weiterhelfen kannst.
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Hallo scientyst!
> [mm](x^2+4x+2) \le 0[/mm]
Hierbei handelt es sich um eine Parabel, die nach oben geöffnet ist (wegen positivem Vorzeichen vor dem quadratischen Glied).
Der negative Bereich dieser Parabel liegt also im Intervall zwischen den beiden Nullstellen. Diese Nullstellen kannst Du ja z.B. mit der  p/q-Formel ermitteln.
Gruß vom
Roadrunner
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f''(x)=e hoch [mm] -x^2/2 [/mm] * [mm] (x^3-3x)
[/mm]
1) e hoch [mm] -x^2/2 \ge [/mm] 0 [mm] \forall [/mm] x [mm] \in \IR
[/mm]
2) [mm] (x^3-3x) [/mm] = [mm] x*(x^2-3)
[/mm]
dann in die pqformel einsetzten: p=0;q=-3
bekomme dann [mm] x1,2=+-\wurzel{3} [/mm] heraus.
Wie gehts jetzt weiter??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:21 Do 22.12.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Richtig ist (genau! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") ):
$f''(x) = [mm] e^{-\frac{x^2}{2}} \cdot [/mm] x [mm] \cdot (x-\sqrt{3}) \cdot [/mm] (x+ [mm] \sqrt{3})$.
[/mm]
Jetzt untersuche mal die Bereiche
1) [mm] $x<-\sqrt{3}$,
[/mm]
2) [mm] $-\sqrt{3} [/mm] < x < 0$,
3) $0 < x < [mm] \sqrt{3}$,
[/mm]
4) [mm] $x>\sqrt{3}$.
[/mm]
Welches Vorzeichen hat $f''$ jeweils? Ist also $f$ dort jeweils konkav oder konvex?
Mache dir dazu klar, wann ein Produkt mehrerer Zahlen positiv bzw. negativ ist...
Liebe Grüße
Julius
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Hallo ich weiss jetzt irgendwie nicht weiter,kannst du mir bitte mal zeigen wie es jetzt weiter geht,danke.
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Hallo scientyst!
Das hat doch Julius sehr schön aufgeschlüsselt ... Hier mal ein Beispiel für Fall 1 [mm] $x<-\sqrt{3}$ [/mm] .
$f''(x) = [mm] \underbrace{e^{-\frac{x^2}{2}}}_{> \ 0} [/mm] \ * \ [mm] \underbrace{x}_{< \ 0} [/mm] \ * \ [mm] \underbrace{(x-\sqrt{3}) }_{< \ 0} [/mm] \ * \ [mm] \underbrace{(x+\sqrt{3}) }_{< \ 0}$
[/mm]
Wir haben also die Situation mit "$(+)*(-)*(-)*(-) \ = \ (-)$" .
Für diesen Fall [mm] $x<-\sqrt{3}$ [/mm] ist die 2. Ableitung also negativ. Das bedeutet also für "konkav" bzw. "konvex"?
Analog nun auch die anderen Fälle untersuchen ...
Gruß vom
Roadrunner
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für die anderen 3 Fälle habe ich folgendes heraus:
2) konkav weil f''(x) [mm] \le0 [/mm] {(+)*(-)*(-)*(+)=(-)}
3) konkav weil f''(x) [mm] \le0 [/mm] {(+)*(+)*(-)*(+)=(-)}
4) konvex weil f''(x) [mm] \ge0 [/mm] {(+)*(+)*(+)*(+)=(+)}
Ich glaube das ich das jetzt soweit verstehe.Habe aber noch 3 Fragen.
Wie schreibe ich denn jetzt die Intervalle nach denen gefragt ist mathematisch korrekt auf?
Wie kommst du auf die zu untersuchenden Bereiche (man soll ja den Intervall [mm] \IR+ [/mm] untersuchen)und wie kommst du auf die letzten beiden Klammerausdrücke bei f''(x). (x- [mm] \wurzel{3})*(x+ \wurzel{3}).
[/mm]
Danke schonmal für deine Hilfe,hast mir wirklich sehr weiter geholfen.
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Hallo scientyst!
> 2) konkav weil f''(x) [mm]\le0[/mm] {(+)*(-)*(-)*(+)=(-)}
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") "$(+)*(-)*(-)*(+)_$" ergibt bei mir $(+)_$ , also $f'' \ [mm] \ge [/mm] \ 0$ ...
> 3) konkav weil f''(x) [mm]\le0[/mm] {(+)*(+)*(-)*(+)=(-)}
> 4) konvex weil f''(x) [mm]\ge0[/mm] {(+)*(+)*(+)*(+)=(+)}
> Wie schreibe ich denn jetzt die Intervalle nach denen
> gefragt ist mathematisch korrekt auf?
Zum Beispiel: $f_$ konkav für [mm] $]-\infty; [/mm] \ [mm] -\wurzel{3}] [/mm] \ [mm] \cup [/mm] \ [0; \ [mm] \wurzel{3}]$
[/mm]
> Wie kommst du auf die zu untersuchenden Bereiche (man soll
> ja den Intervall [mm]\IR+[/mm] untersuchen)
Die o.g. 4 Fälle von Julius ergeben sich durch die Nullstellen der 2. Ableitung $f''(x)_$ .
Und der Definitionsbereich (bzw. die Einschränkung auf [mm] $\IR^+$) [/mm] war uns bisher nicht bekannt.
Damit brauchst Du dann nur die beiden Fälle (3) und (4) betrachten.
> und wie kommst du auf die letzten beiden Klammerausdrücke bei f''(x).
> (x- [mm]\wurzel{3})*(x+ \wurzel{3}).[/mm]
Das ist doch die faktorisierte Form von [mm] $x^2-3$ [/mm] (Stichwort: 3. binomische Formel):
[mm] $x^2-3 [/mm] \ = \ [mm] x^2 [/mm] - [mm] \left( \ \wurzel{3} \ \right)^2 [/mm] \ = \ [mm] \left(x+\wurzel{3} \ \right)*\left(x-\wurzel{3} \ \right)$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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Kann ich es also so schreiben:
3) f ist für [mm] [0
4) f ist für [mm] ]x>\wurzel{3}] [/mm] konvex
Und Danke für deine Zeit,die ich in Anspruch genommen habe und Hilfe.
mfg scientyst
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Hallo scientyst!
Beispiel für Fall 4:
f ist für [mm]x>\wurzel{3}[/mm] konvex
oder
f ist für [mm]x \ \in \ ]\wurzel{3}; \ \infty[[/mm] konvex
Gruß vom
Roadrunner
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