konvex,2-mal diff.bar Fkt. < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:49 Sa 27.11.2010 | | Autor: | Kayle |
| Aufgabe | Sei [mm] f:\IR^n\mapsto\IR [/mm] konvex und zweimal stetig, differenzierbar. Weiterhin gelte
[mm] f(\bruch{x+y}{2})<\bruch{1}{2}(f(x)+f(y)) [/mm], [mm] \forall x,y\in\IR^n.
[/mm]
i) Berechnen Sie für [mm] f^{\*}: \IR\to\IR\cup\{\infty\}
[/mm]
[mm] f^{\*}(\alpha)=\sup_{x\in\IR}(\alpha x-f(x)), falls f(x)=\integral_{-\infty}^{x}{\bruch{ds}{1+|min\{s,0\}|^2}}[/mm].
ii) Beweisen Sie, dass die Abbildung [mm] x\mapsto [/mm] Df(x), [mm] \IR^n\mapsto\IR^n [/mm] injektiv ist.
iii) Ist [mm] x\mapsto [/mm] Df(x) immer surjektiv? |
Hallo,
ich überlege wie ich ii) und iii) zeigen kann.
zu i)
Ich finde es logisch, aber ich weiß nicht wie ich es beweisen soll. Da f stetig und diff.bar ist, gilt natürlich [mm] x\mapsto [/mm] Df(x) in [mm] \IR^n\mapsto\IR^n. [/mm] Aber wie zeige ich die Injektivität?
zu ii)
Ich weiß nicht ob da meine Überlegung richtig ist. Aber wäre nicht für n=1 also [mm] \IR^1\mapsto\IR, x\mapsto [/mm] Df(x) nicht unbedingt surjektiv, sondern kann auch injektiv sein?
Wäre dankbar füre eure Hilfe.
Gruß
Kayle
|
|
| |
|
Hallo,
zur Injektivität:
Du solltest dir erstmal aufschreiben was für eine konvexe Funktion allgemein gelten muss und was du für die Injektivität zeigen musst.
Das sollte man dann irgendwie sinnvoll zusammenbauen können.
Gruß Patrick
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:41 Sa 27.11.2010 | | Autor: | Kayle |
Hallo,
also zur Def. einer konvexen Fkt hab ich [mm] f(\alpha x+(1-\alpha)y) \le \alpha f(x)+(1-\alpha)f(y), \forall x,y\in\IR^n, \alpha\in[0,1] [/mm] in meiner Mitschrift gefunden.
Und wenn ich jetzt wüsste, wie ich die Injektitvität zeigen kann, wäre ich ja schon fast am Ziel. Da liegt aber mein Problem..
Injektivität heißt für mich ja eigentlich aus f(x)=f(y) [mm] \Rightarrow [/mm] x=y. Aber das hilft mir hier nicht..
Hast du vielleicht einen Tipp wie ich das alles vereinbaren könnte, oder nen besseren Ansatz mit einer geeigneteren Inkejektivitätsdef.?
Gruß
Kayle
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:22 So 28.11.2010 | | Autor: | Kayle |
Hallo,
ich sitz immernoch an der Aufgabe. Ich weiß einfach nicht wie ich es zeigen kann, obwohl es eigentlich so "leicht" aussieht. Kann mir vielleicht Jemand auf die Sprünge helfen?
Viele Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:00 So 28.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
Zu iii): was kennst du denn so an (moeglichst einfachen) konvexen Funktionen [mm] $\IR^n \to \IR$?
[/mm]
Wie sieht die Abbildung $x [mm] \mapsto [/mm] D f(x)$ fuer diese aus? Ist sie immer surjektiv?
(Und: ist die Bedingung $f((x + y)/2) < (f(x) + f(y))/2$ fuer alle $x [mm] \neq [/mm] y$ erfuellt?)
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:07 So 28.11.2010 | | Autor: | Kayle |
Moin,
also z.B. [mm] f(x)=x^2. [/mm] Somit ist f'(x)=2x und somit würde ich denken, dass [mm] x\mapsto [/mm] f'(x) injektiv ist. Keine Ahnung ob ich das wirklich richtig mache :/
Viele Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:25 So 28.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin,
> also z.B. [mm]f(x)=x^2.[/mm] Somit ist f'(x)=2x und somit würde ich
> denken, dass [mm]x\mapsto[/mm] f'(x) injektiv ist.
das ist nicht nur injektiv, sondern sogar bijektiv.
(Sollte dir aus der linearen Algebra I bekannt vorkommen.)
Und kennst du auch ein Beispiel im $n$-dimensionalen? Moeglichst eins, was fuer alle $n$ funktioniert?
Oder mehrere Beispiele? Oder zumindest weitere Beispiele im eindimensionalen?
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:47 So 28.11.2010 | | Autor: | Kayle |
Moin,
also ich könnte sicher Beispiele finden für die [mm] f:\IR^n\mapsto \IR [/mm] , aber ich weiß nicht ob sie konvex sind. Und ich find leider dafür auch keins.
Also [mm] e^x [/mm] wäre noch ein eindimensionales Beispiel. Ich hab grad überlegt, ob das auch auf den mehrdimensionalen Fall übertragbar ist. Also vielleicht als Beispiel hier [mm] e^{(x+y)}?
[/mm]
Viele Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:24 So 28.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin,
> also ich könnte sicher Beispiele finden für die
> [mm]f:\IR^n\mapsto \IR[/mm] , aber ich weiß nicht ob sie konvex
> sind. Und ich find leider dafür auch keins.
du hattest doch jetzt schon einige Aufgaben zum Thema. Und du kennst trotzdem nicht ein paar Beispiele? Oder wenigstens ein einziges im mehrdimensionalen?
> Also [mm]e^x[/mm] wäre noch ein eindimensionales Beispiel. Ich hab
> grad überlegt, ob das auch auf den mehrdimensionalen Fall
> übertragbar ist. Also vielleicht als Beispiel hier
> [mm]e^{(x+y)}?[/mm]
Ueberpruefe doch mal, ob $f(x, y) = [mm] \exp(x [/mm] + y)$ konvex ist. Liefere also einen Beweis oder ein Gegenbeispiel.
Und wenn du das hast, ueberpruef ob es die Bedingungen aus der Aufgabe erfuellt, und bestimmte $D f(x, y)$ fuer allgemeines $(x, y) [mm] \in \IR^2$.
[/mm]
Und wenn du das hast: ist die Abbildung [mm] $\IR^2 \to \IR^2$, [/mm] $(x, y) [mm] \mapsto [/mm] D f(x, y)$ surjektiv?
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:56 So 28.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> also zur Def. einer konvexen Fkt hab ich [mm]f(\alpha x+(1-\alpha)y) \le \alpha f(x)+(1-\alpha)f(y), \forall x,y\in\IR^n, \alpha\in[0,1][/mm]
> in meiner Mitschrift gefunden.
>
> Und wenn ich jetzt wüsste, wie ich die Injektitvität
> zeigen kann, wäre ich ja schon fast am Ziel. Da liegt aber
> mein Problem..
>
> Injektivität heißt für mich ja eigentlich aus f(x)=f(y)
> [mm]\Rightarrow[/mm] x=y. Aber das hilft mir hier nicht..
Du sollst hier aber nicht zeigen, dass $f$ injektiv ist!
Du sollst zeigen, dass die Abbildung [mm] $\phi [/mm] : [mm] \IR^n \to \IR^n$, [/mm] $x [mm] \mapsto [/mm] D f(x)$ injektiv ist.
Im Eindimensionalen heisst das soviel wie: die erste Ableitung ist streng monoton steigend. (Monton steigen muss sie da $f$ konvex ist, und streng monoton muss sie steigen damit [mm] $\phi$ [/mm] injektiv ist.)
Ueberleg dir, wie du den eindimensionalen Beweis verallgemeinern kannst.
LG Felix
|
|
|
|
