konvergieren Funktionenfolgen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich weiss nicht so richtig wie ich diese Aufgabe angehen soll.
Kann mir da bitte jemand helfen?
Danke
Fragestellung:
Untersuchen Sie, ob die folgenden Funktionenfolgen {fn}n∈N punktweise
und/oder gleichmäßig auf dem jeweiligen Intervall konvergieren:
1. fn (x) = xn + x, x ∈ [−1, 1]
2. fn (x) = xn + x, x ∈ [−1 + ε, 1 − ε] , ε > 0
3. fn (x) = nx (1 − x)n , x ∈ [0, 1]
4. fn (x) = nxe−nx2, x ∈ [a, ∞[
5. fn (x) = [mm] \summe_{k=0}^{n} x_{k} [/mm] (1-x), x ∈ ]-1,1]
6. fn (x) = cos(n arctan (x/n)), x ∈ [mm] \IR
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:45 So 30.10.2005 | | Autor: | Pollux |
Hi,
um die punktweise Konvergenz nachzuweisen, musst du untersuchen ob [mm] f_n [/mm] im angegebenen Intervall konvergiert. Betrachte jeweils [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f_n [/mm] und versuche herauszufinden ob der Grenzwert existiert. Existiert er ist die Funktion punktweise konvergent. Wenn sie das nicht ist, kann sie nicht mehr gleichmäßig konvergent sein. Die gleichmäßige konvergenz setzt nämlich eine punktweise konvergenz voraus. Weißt du dann dass [mm] f_n [/mm] punktweise konvergiert, so musst du die gleichmäßige konvergenz untersuchen. hierzu kannst du mit der epsilontik arbeiten. da das mir nicht so gefällt, mach ich das immer mit der supremumsnorm:
Sei [mm] f_n(x) [/mm] deine angegebene Folge und f(x), dessen Grenzwert, den du aus der punktweisen konvergenz erhältst. Dann ist [mm] f_n [/mm] genau dann gleichmäßig konvergent, wenn gilt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \parallel f_n-f\parallel [/mm] = 0,
wobei [mm] \parallel.\parallel [/mm] definiert ist als:
[mm] \parallel h\parallel =sup\{|h(x)| : x\in D\}
[/mm]
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