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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:42 Di 22.09.2009 | | Autor: | katjap |
| Aufgabe | Bestimmen SIe das KOnvergenzverhalten der unendlichen Reihe:
[mm] \summe_{n=2}^{\infty} \bruch{1}{n^{2}-n} [/mm] |
Hallo!
ich habe dies nun zunächst mit dem Quotientenkriterium versucht, da kommt eins raus.
dann hab ich gedacht, naja vielleicht geht es ja anders, hab es umgeformt, sodass
[mm] \summe_{n=2}^{\infty} \bruch{1}{n} [/mm] + [mm] \bruch{1}{n-1}
[/mm]
da findet sich ja nun die harmonische reihe wieder, die ja divergent ist,
und demnach das zweite ja auch.
kann ich das dann einfach so begründen?
und ne generelle Frage: nehmen wir an, ich kann das öfters so aufteilen, dass ich ne harmonische reihe * irgendwas hab.und das irgendwas wäre konvergent, ist das ganze paket dann divergent oder konvergent? vermutlich trotzdem divergent oder?
danke für die hilfe!
katja
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Hallo Katja,
> Bestimmen SIe das KOnvergenzverhalten der unendlichen
> Reihe:
> [mm]\summe_{n=2}^{\infty} \bruch{1}{n^{2}-n}[/mm]
> Hallo!
>
> ich habe dies nun zunächst mit dem Quotientenkriterium
> versucht, da kommt eins raus.
> dann hab ich gedacht, naja vielleicht geht es ja anders,
> hab es umgeformt, sodass
>
> [mm]\summe_{n=2}^{\infty} \bruch{1}{n}[/mm] + [mm]\bruch{1}{n-1}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Es ist [mm] $\frac{1}{n^2-n}=\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$
[/mm]
Mache eine PBZ!
> da findet sich ja nun die harmonische reihe wieder, die ja
> divergent ist,
> und demnach das zweite ja auch.
>
> kann ich das dann einfach so begründen?
Nein 
Wenn du die richtige PBZ machst, kommst du auf "meinen" obigen Ausdruck.
Dann bedenke, dass [mm] $\sum\limits_{n=2}^{\infty}\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\right)=\lim\limits_{k\to\infty}\underbrace{\sum\limits_{n=2}^k\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\right)}_{:=S_k}$
[/mm]
Stelle mal eine solche k-te Partialsumme [mm] $S_k$ [/mm] auf, das ist eine nette Teleskopsumme, in der sich vieles weghebt.
Dann den Grenzprozess [mm] $k\to\infty$ [/mm] und du hast den GW der Reihe (bzw. den Reihenwert)
Und damit natürlich auch die Konvergenz nachgewiesen.
Wenn es dir nur um den Konvergenznachweis geht und dich der Reihenwert nicht interessiert, verwende das Vergleichskriterium (Majorantenkriterium), um eine konvergente Majorante zu bestimmen.
Weißt du für welche $s$ die Reihen des Typs [mm] $\sum_n\frac{1}{n^s}$ [/mm] konvergieren und für welche $s$ sie divergieren?
Das sollte dich schnell auf eine konvergente Majorante führen ...
>
> und ne generelle Frage: nehmen wir an, ich kann das öfters
> so aufteilen, dass ich ne harmonische reihe * irgendwas
> hab.und das irgendwas wäre konvergent, ist das ganze paket
> dann divergent oder konvergent? vermutlich trotzdem
> divergent oder?
Hmm, wenn ich die Frage mal richtig deute, so kann man das nicht pauschal sagen, denn mal angenommen, die konvergente Reihe strebt gegen 0, dann ist [mm] $\infty\cdot{}0$ [/mm] ist ein unbestimmter Ausdruck. Das kann alles mögliche sein ...
>
> danke für die hilfe!
>
> katja
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:18 Di 22.09.2009 | | Autor: | katjap |
oh ja, das stimmt, hab mich da irgendwie vertan.
das mit der teleskopsumme kann ich! danke fuer den hinweis!
und die allgemeine information stimmt natuerlich auch.:)
gruß!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:56 Mi 23.09.2009 | | Autor: | fred97 |
Wenn es nur um das Konvergenzverhalten geht, hilft das Majorantenkriterium:
Für n [mm] \ge [/mm] 2 ist $0< [mm] \bruch{1}{n^2-n} \le \bruch{1}{n^2}$
[/mm]
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:04 Mi 23.09.2009 | | Autor: | katjap |
danke,das leuchtet ein und hilft.!
nett, dass du nochmal drueber geschaut hast.
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