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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:01 Di 18.12.2007 | | Autor: | lenz |
| Aufgabe | bestimmen sie den konvergenzradius der reihe:
[mm] 1)\summe_{n=0}^{\infty} (2^{n}+(-2)^{n}) z^{n}
[/mm]
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hallo
die [mm] a_{n} [/mm] sind 0 für n ungerade und [mm] 2*2^{n} [/mm] für n grade.
dadurch konvergiert die folge [mm] a_{n} [/mm] ja nicht.gibt es dann überhaupt einen
konvergenzradius?
grüße lenz
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Du hast recht, die Koeffizientenfolge besitzt keinen Grenzwert, sondern 0 und [mm]\infty[/mm] als Häufungspunkte. Für einen Konvergenzradius [mm]r>0[/mm] ist ja aber auch nur
[mm]\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} < \infty[/mm]
entscheidend. Der Kehrwert dieses Limes superior ist dann der Konvergenzradius (Formel von Hadamard). Es reicht also,
[mm]\sqrt[n]{2 \cdot 2^n}[/mm] für gerade [mm]n[/mm] mit [mm]n \to \infty[/mm]
zu untersuchen. Alternativ kannst du die Aufgabe auch mittels der Substitution [mm]w = 4z^2[/mm] auf die geometrische Reihe
[mm]2 \sum_{n=0}^{\infty} w^n \, , \ \ |w| < 1[/mm]
zurückführen. Denn darauf läuft es hinaus, wenn man in der originalen Reihe die Glieder mit ungeradem Index wegläßt.
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