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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:25 Do 02.02.2006 | | Autor: | Magma |
| Aufgabe | [mm] \summe_{k=1}^{\infty} 100^k/k!
[/mm]
konvergent oder divergent?
lösung über quotienten oder wurzelkriterium |
ich komm dann irgendwann auf:
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} 100/\wurzel[k]{k!}
[/mm]
was ja dann 100 ergeben würde, und somit divergent, allerdings sollte laut der aufgabenlösung eigentlich konvergent rauskommen
wo steckt hier der fehler?
*verzweifelt dreinguck*
hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:41 Do 02.02.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Magma
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} 100^k/k![/mm]
>
> konvergent oder divergent?
> lösung über quotienten oder wurzelkriterium
> ich komm dann irgendwann auf:
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} 100/\wurzel[k]{k!}[/mm]
wieso nimmst du an [mm] \wurzel[k]{k!} [/mm] gegen 1?
nimm hier viel einfacher das Quotientenkriterium, bei Fakultäten ist Wurzelkr. meist schlecht anzuwenden!
> was ja dann 100 ergeben würde, und somit divergent,
> allerdings sollte laut der aufgabenlösung eigentlich
> konvergent rauskommen
>
> wo steckt hier der fehler?
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:48 Do 02.02.2006 | | Autor: | Magma |
das das mit dem quotientenkriterium geht, ist mir auch klar. mich würd allerdings allgemein intressieren, ob
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \wurzel[k]{k!} [/mm] =1 stimmt.
ich komme deswegen darauf, da laut meiner formelsammlung die k-te wurzel aus k im unendlichen 1 sei.
und da ich annehme, dass k! im unendlichen genauso wie k unendlich ist, nehm ich an, das obiges gilt.
wenn man das ergebnis allerdings mit dem ergebnis vom quotientenergebnis vergleicht, müsste man schlussfolgern, da kommt nicht 1 raus, sondern [mm] \infty
[/mm]
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Hallo Magma,
Ganz so einfach funktioniert das nicht. es kommt schon ein wenig darauf an wie schnell etwas gegen unendlich geht und k geht eben langsamer gegen unendlich als k! . Noch eine Anregung das es zumindest nicht 1 sein kann:
Für k>3 gilt wohl
[mm] 2^k
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm]\limes_{k\rightarrow\infty} \wurzel[k]{2^k}<\limes_{k\rightarrow\infty} \wurzel[k]{k!}[/mm]
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm]2<\limes_{k\rightarrow\infty} \wurzel[k]{k!}[/mm]
Der "Grenzwert" muß also schonmal größer als 2 sein.
viele Grüße
mathemaduenn
> das das mit dem quotientenkriterium geht, ist mir auch
> klar. mich würd allerdings allgemein intressieren, ob
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} \wurzel[k]{k!}[/mm] =1 stimmt.
>
> ich komme deswegen darauf, da laut meiner formelsammlung
> die k-te wurzel aus k im unendlichen 1 sei.
> und da ich annehme, dass k! im unendlichen genauso wie k
> unendlich ist, nehm ich an, das obiges gilt.
>
> wenn man das ergebnis allerdings mit dem ergebnis vom
> quotientenergebnis vergleicht, müsste man schlussfolgern,
> da kommt nicht 1 raus, sondern [mm]\infty[/mm]
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