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Forum "Uni-Numerik" - konvergenzgeschwindigkeit
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konvergenzgeschwindigkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:05 Mi 24.10.2007
Autor: bjoern.g

Aufgabe
Konvergenzgeschwindigkeit und 0-Notation

an= [mm] \bruch{3n^{3}+4n^{2}+2n}{6n^{3}} [/mm]

Hi kann mir mal jemand an dem bsp. das mit der konvergenzgeschwindigkeit erklären.

aber am besten so einfach wie möglich :)

hab das in der vorlesung nicht richtig verstanden und das was im skript drin steht ist irgendwie naja also nicht so das mans direkt versteht. irgendwie seltsam.

danke!

        
Bezug
konvergenzgeschwindigkeit: Tipp
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:42 Mi 24.10.2007
Autor: dormant

Hi!

[mm] a_{n}=\bruch{1}{2}+\bruch{2}{3n}+\bruch{1}{3n^{2}} [/mm] konvergiert gegen 1/2.

Die Konvergenzgeschwindigkeit gibt an wie schnell [mm] a_{n} [/mm] dies tut, oder grob gesagt ob nach vielen (konvergiert langsam) oder wenigen (konvergiert schnell) Folgengliedern [mm] a_{n} [/mm] so gut wie gleich 1/2 ist.

[mm] a_{10}=0,507 [/mm] und [mm] a_{100}=0,5067. [/mm] Bei [mm] (a)_{n\in\IN} [/mm] ist man schon nach 10 Gliedern relativ nah am Grenzwert, aber der Abstand zum Grenzwert wird relativ langsam verkürzt. Entsprechend handelt es sich um lineare Konvergenz mit einer Konstanten größer 1.

Gruß,
dormant



Bezug
                
Bezug
konvergenzgeschwindigkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:54 Mi 24.10.2007
Autor: bjoern.g

also in der lösung steht hier folgendes


[mm] an=\bruch{1}{2}+0(\bruch{1}{n}) [/mm]


--> |an-a| = [mm] |\bruch{3n^{3}+4n^{2}+5n}{6n^{3}} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}| [/mm] =

| [mm] \burch{1}{2} [/mm] + [mm] \bruch{4n^{2}+5n}{6n^{3}} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}|= \bruch{4n^{2}+5n}{6n^{3}} [/mm] <= [mm] \bruch{4n^{2}+5n^{2}}{6n^{3}}=\bruch{3}{2}*\bruch{1}{n} [/mm]

für n>=1

mit K= 3/2 und No=1

--> da steig ich nicht so ganz dahinter wie plötzlich [mm] 5n^{2} [/mm] und wann n>=1 ?? wie kommt man darauf :(
und warum da plötzlich noch 1/2  + ....... davor steht

(12=1/2) ka warum der da 12 schreibt steht im quelltext als bruch


Bezug
                        
Bezug
konvergenzgeschwindigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:02 Mi 24.10.2007
Autor: dormant

Hi!

Das ist ein etwas schlampiger Beweis, aber...

> | [mm]\burch{1}{2}[/mm] + [mm]\bruch{4n^{2}+5n}{6n^{3}}[/mm] - [mm]\bruch{1}{2}|= \bruch{4n^{2}+5n}{6n^{3}}[/mm]
> <= [mm]\bruch{4n^{2}+5n^{2}}{6n^{3}}=\bruch{3}{2}*\bruch{1}{n}[/mm]
> --> da steig ich nicht so ganz dahinter wie plötzlich
> [mm]5n^{2}[/mm] und wann n>=1 ?? wie kommt man darauf :(

Man schätzt ab: auf der rechten Seite steht ein Bruch mit dem selben Nenner wie auf der linken, aber mit einem größeren Zähler (da [mm] 5n\le 5n^{2} [/mm] für alle [mm] n\ge [/mm] 1). Man könnte auch [mm] 5n^{20} [/mm] statt [mm] 5n^{2} [/mm] wählen, das Ziel ist aber [mm] n^{2} [/mm] zu kürzen.

Welche Definition von Konvergenzgeschwindigkeit benutzt ihr?

Gruß,
dormant

Bezug
                                
Bezug
konvergenzgeschwindigkeit: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 21:06 Mi 24.10.2007
Autor: bjoern.g

irgendwie heavy ich schnalls immer noch net so ganz

hier mal die def.:

[Dateianhang nicht öffentlich]

Dateianhänge:
Anhang Nr. 2 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Bezug
                                        
Bezug
konvergenzgeschwindigkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:09 Mi 24.10.2007
Autor: bjoern.g

mal noch ein bsp wie würde es hier funktionieren?

[mm] an=\bruch{n²+200}{n^{4}} [/mm]


vorallem woran erkenne ich ob es linear ist und wann nicht das wäre auch noch ganz gut

Bezug
                                        
Bezug
konvergenzgeschwindigkeit: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:20 Fr 26.10.2007
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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