konvergenzeigenschaften von fo < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:11 Mi 14.11.2007 | | Autor: | the_cow |
| Aufgabe | in der aufgabe wird von uns erwartet, dass wir direkt von der definition der konvergenz ausgehend argumentieren. die beweise sollen jeweils mit dem satz [mm] "sei\varepsilon [/mm] >0 vorgegeben" oder "sei [mm] \varepsilon [/mm] eine beliebig kleine positive Zahl" anfangen und eine passende formel für N( [mm] \varepsilon) [/mm] angeben.
i) Zeigen sie: lim 1/n²=0 und lim 2n-5/n=2
ii)seien (An),(Bn)mit dem Limites A,B element [mm] \IC. [/mm] zeigen sie: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] AnBn =AB
iii) (Squeeze-Theorem) seien (An), (Bn) reelle folgen mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}An= \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] Bn= A element [mm] \IR [/mm] und sei (Xn) eine reelle folge [mm] An\le Xn\le [/mm] Bn. zeigen sie, dass dann die folge (Xn) einen grenzwert besitzt und das gilt [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] Xn= A. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|An-1| = |(-1)hoch n 1/n| = 1/n < [mm] \varepsilon [/mm] falls n>N von [mm] \varepsilon [/mm] mit N von [mm] \varepsilon =[1/\varepsilon [/mm] ]+1.....dies wurde uns als hilfestellung gegeben, nur leider bin ich ein wenig unbegabt und kann damit nicht all zu viel anfangen, gerade weil es ums beweisen geht und nicht ums stupide rechnen. also falls jemand ne idee hat wie er nem dummen studenten weiterhelfen kann bzw. irgendwelche lösungsvorschläge hat, wäre ich sehr erfreut...danke
|
|
| |
|
> in der aufgabe wird von uns erwartet, dass wir direkt von
> der definition der konvergenz ausgehend argumentieren. die
> beweise sollen jeweils mit dem satz [mm]"sei\varepsilon[/mm] >0
> vorgegeben" oder "sei [mm]\varepsilon[/mm] eine beliebig kleine
> positive Zahl" anfangen und eine passende formel für N(
> [mm]\varepsilon)[/mm] angeben.
>
> i) Zeigen sie: lim 1/n²=0 und lim 2n-5/n=2
>
> ii)seien (An),(Bn)mit dem Limites A,B element [mm]\IC.[/mm] zeigen
> sie: [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] AnBn =AB
>
> iii) (Squeeze-Theorem) seien (An), (Bn) reelle folgen mit
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}An= \limes_{n\rightarrow\infty}[/mm]
> Bn= A element [mm]\IR[/mm] und sei (Xn) eine reelle folge [mm]An\le Xn\le[/mm]
> Bn. zeigen sie, dass dann die folge (Xn) einen grenzwert
> besitzt und das gilt [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] Xn= A.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> |An-1| = |(-1)hoch n 1/n| = 1/n < [mm]\varepsilon[/mm] falls n>N
> von [mm]\varepsilon[/mm] mit N von [mm]\varepsilon =[1/\varepsilon[/mm]
> ]+1.....dies wurde uns als hilfestellung gegeben, nur
> leider bin ich ein wenig unbegabt und kann damit nicht all
> zu viel anfangen,
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Ob Du unbegabt bist oder vielleicht doch nicht, weiß ich natürlich nicht.
Aber daraus, daß man am Anfang Schwierigkeiten mit diesen [mm] \varepsilon-Geschichten [/mm] hat, kann man noch nicht auf Unbegabung schließen.
Ich gehe davon aus, daß Dir das [mm] \varepsilon-Kriterium [/mm] für Konvergenz bekannt ist (wenn nciht, MUSS es Dir bekannt werden!), ich drücke das lediglich ergänzend in Worten aus.
Eine Reihe [mm] (a_n) [/mm] konvergiert genau dann gegen einen Grenzwert g, wenn es zu jedem vorgegebenen (noch so kleinen) [mm] \varepsilon [/mm] > 0 einen Schwellenwert N gibt, so daß ab dem N.-ten Folgenglied alle Folgenglieder dichter als [mm] \varepsilon [/mm] an g liegen.
Zu a1) Zu zeigen: [mm] (a_n) [/mm] mit [mm] a_n:=\bruch{1}{n^2} [/mm] konvergiert gegen 0.
Es geht nun darum, daß Du für vorgegebenes [mm] \varepsilon>0 [/mm] einen Schwellenwert N findest, so, daß [mm] |\bruch{1}{n^2}-0| \le \varepsilon [/mm] für alle [mm] n\ge [/mm] N ist.
Um der Sache auf die Spur zu kommen, versuche doch zunächst einmal, für jeweils [mm] \varepsilon= \bruch{1}{2} [/mm] und [mm] \varepsilon=\bruch{1}{100} [/mm] solch ein passendes N zu finden.
Zu a2) Versuch jetzt mal aufzuschreiben, was Du zeigen mußt.
Zur konkreten Berechnung ein [mm] Tip:\bruch{2n-5}{n}=2-\bruch{5}{n}.
[/mm]
Gruß v. Angela
|
|
|
|
