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| Aufgabe | Bestimmen sie den Konvergenzbereich der folgenden Reihen:
a) [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{k^{9k}}{27^{k}^{2}}
[/mm]
... |
hi,
also meine frage steht ja schon oben:
im prinzip habe ich doch nur zwei möglichkeiten an den konvergenzradius von einer potenzreihe zu kommen: 1)wurzelkriterium 2) quotientenkriterium.
was mir aber probleme macht ist: ich bekomme es einfach nicht hin, den bruch irgendwie so umzuformen, dass ich da was für das verhalten des bruchs für k gegen unendlich sagen kann.
z.b. wurzelkriterium:
[mm] \wurzel[k]{\bruch{k^{9k}}{27^{k}^{2}}}
[/mm]
= [mm] \bruch{k^{9}}{27^{k}}
[/mm]
so jetzt hab ich hier z.B. das problem, dass ich einmal das k im exponenten stehen hab und einmal nicht xD und ich deswegen nicht genau sagen kann, was damit für k gegen unendlich passiert...
könnt ihr mir da vielleicht nen tipp geben?
danke schonmal
also prinzipiell würde ich mal dazu tendieren, dass der nenner schneller gegen unendlich geh und der bruch deswegen gegen null geht und damit der konvergenzradius der reihe [mm] \infty [/mm] ist ??
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Hallo reallifenoob,
> Bestimmen sie den Konvergenzbereich der folgenden Reihen:
> a) [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{k^{9k}}{27^{k}^{2}}[/mm]
> ...
> hi,
> also meine frage steht ja schon oben:
> im prinzip habe ich doch nur zwei möglichkeiten an den
> konvergenzradius von einer potenzreihe ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Hmmm, das da oben ist keine Potenzreihe, sondern eine "stinknormale" 
Kann es sein, dass du ein [mm] $\blue{\cdot{}x^k}$ [/mm] vergessen hast, dass die Reihe also [mm] $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{k^{9k}}{27^{k^2}}\blue{\cdot{}x^k}$ [/mm] lautet?
> zu kommen:
> 1)wurzelkriterium 2) quotientenkriterium.
>
> was mir aber probleme macht ist: ich bekomme es einfach
> nicht hin, den bruch irgendwie so umzuformen, dass ich da
> was für das verhalten des bruchs für k gegen unendlich
> sagen kann.
> z.b. wurzelkriterium: ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
das ist ne gute Wahl, nennt sich aber eigentlich Kriterium von Cauchy-Hadamard (wenn es für ne Potenzreihe gemeint ist)
> [mm]\wurzel[k]{\bruch{k^{9k}}{27^{k}^{2}}}[/mm]
> =
> [mm]\bruch{k^{9}}{27^{k}}[/mm]
> so jetzt hab ich hier z.B. das problem, dass ich einmal
> das k im exponenten stehen hab und einmal nicht xD und ich
> deswegen nicht genau sagen kann, was damit für k gegen
> unendlich passiert...
> könnt ihr mir da vielleicht nen tipp geben?
> danke schonmal
>
> also prinzipiell würde ich mal dazu tendieren, dass der
> nenner schneller gegen unendlich geh und der bruch deswegen
> gegen null geht und damit der konvergenzradius der reihe
> [mm]\infty[/mm] ist ?? ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Das ist richtig, das Biest [mm] $\frac{k^9}{27^k}$ [/mm] strebt für [mm] $k\to\infty$ [/mm] gegen 0, damit ist der Konvergenzradius [mm] $\infty$, [/mm] deine Tendenz ist also richtig
Nach Cauchy-Hadamard musst du ja den Konvergenzradius R bestimmen durch das Berechnen von [mm] $R=\frac{1}{\limsup\limits_{k\to\infty}\sqrt[k]{|a_k|}}$ [/mm] mit den Festlegungen [mm] $\frac{1}{0}=\infty$ [/mm] und [mm] $\frac{1}{\infty}=0$
[/mm]
LG
schachuzipus
>
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jo sry hab ein [mm] x^{k} [/mm] vergessen..
aber kann ich für [mm] \bruch{k^{9}}{27^{k}} [/mm] einfach sagen, dass das gegen null geht ? ich muss es ja irgendwie begründen... da liegt bei mir das problem
ciao,
hendrik
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:44 Mo 12.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Hendrik!
Wennn Du es begründen / beweisen willst, kannst Du für [mm] $\limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{k^{9}}{27^{k}}$ [/mm] insgesamt 9-mal  de l'Hospital anwenden und erhältst dann den gewünschten Grenzwert.
Gruß
Loddar
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hm^^ na da frag ich doch lieber nochmal den prof... bevor ich da 9-mal den l'Hopital anwende ;)
aber danke für die hilfe
Gruß,
Hendrik
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