konvergenz von an < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:12 Do 04.12.2008 | | Autor: | start |
| Aufgabe | Es sei [mm] (a_{n})_{n\in\IN} [/mm] monoton wachsend und beschränkt. Es gelte [mm] a_{n} \not\in [/mm] 0 für alle n.
Zeigen Sie: [mm] \summe_{n=1}^{\infty} (\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}-1) [/mm] ist konvergent.
|
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
hallo lieber matheraum :>
ich habe die aufgabe als kleines problem...
ich bin in etwa so weit.
Es ist 0 [mm] \le (\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}-1) [/mm] = [mm] \bruch{a_{n+1}-a_{n}}{a_{n}}\le \bruch{a_{n+1}-a_{n}}{a_{0}}, [/mm] also
[mm] \summe_{n=0}^{N} (\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}-1) \le \bruch{1}{a_{0}} \summe_{n=0}^{N} a_{n+1}-a_{n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{a_{0}}(a_{N+1}-a_{0} \le \bruch{1}{a_{0}}(a-a_{0} [/mm]
nunja so weit so gut... allerdings wie überprüfe ich das nun am besten auf die konvergenz?
wäre schön wenn mir jemand ein paar vorschläge geben kann ^^
MFG :>
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:20 Do 04.12.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Die Abschätzung mit [mm] a_0 [/mm] ist sicher zu grob. du musst die Eigenschaft von [mm] a_n [/mm] beschränkt und monoton wachsend ausnutzen, also hat [mm] a_n [/mm] einen GWa und es gilt für [mm] n>N_0(\epsilon) a_{n+1}-a_n<\epsilon.
[/mm]
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:34 Do 04.12.2008 | | Autor: | start |
hey heyy
hm... wie sollte es denn sonst aussehen? ich habe mir gedacht das man das so mit dem monotoniekriterium auswerten könnte allerdings habe ich dafür nicht so einen richtigen ansatz für.
bin allerdings für andere varianten die zur lösung führen offen. :>
mfg
|
|
|
| |
|
> hey heyy
>
> hm... wie sollte es denn sonst aussehen? ich habe mir
> gedacht das man das so mit dem monotoniekriterium auswerten
> könnte allerdings habe ich dafür nicht so einen richtigen
> ansatz für.
> bin allerdings für andere varianten die zur lösung führen
> offen. :>
Hallo,
die Aufgabe wurde auch hier bearbeitet und gelöst für den Fall, daß die [mm] a_n [/mm] allesamt >0 sind (andernfalls stimmt die Aussag auch nicht)
Dein Ansatz sieht ja nicht übel aus. Die Beschränktheit der Folge der Partialsummen hast Du damit ja.
Jetzt mußt Du noch zeigen, daß die Folge der Partialsummen monoton ist.
Was ist daür zu zeigen?
Gruß v. Angela
|
|
|
|
