konvergenz von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:08 Mi 12.12.2007 | | Autor: | bonni |
| Aufgabe | Für welche x [mm] \in \IR [/mm] konvergieren die Reihen
a.) [mm] \summe_{k=1}^{\infty} (((-1)^k)/k)*x^k
[/mm]
b.) [mm] \summe_{n=0}^{\infty} ((n^2)/(5^n)*(x-2)^n [/mm] |
Hallo!
Ich hab mir zu dieser Aufgabe schon ein paar gedanken gemacht...
Doch leider weiß ich nicht ob die so stimmen!?!
Wär super wenn mir jemad helfen könnte 
also zur a.)
durch das [mm] (-1)^k [/mm] springen ja die Werte immer zwischen positiv und negativ hin und her.
-> für gerade k erhält man einen positven Wert
-> für ungerade k erhält man einen negativen Wert
hm aber dann kommt da ja noch ein x hinzu!
Irgendwie komm ich nicht weiter
die Konvergenzkriterien helfen mir auch nicht weiter...
Kann mir jemand sagen wie ich am besten an die aufgabe rangehe?
grüße Bonni
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:15 Mi 12.12.2007 | | Autor: | Schroet |
Hallo.
Ich würde dir dringend raten, die nötigen und sehr wichtigen Konvergenzkriterien für Reihen an zu schauen, die wirst du immer wieder brauchen.
Zum ersten kann ich dir vorest ein Tipp geben:
Schau dir Leibniz Konvergenzkriterium für alternierende Reihen an.
Allgemein ist es bei Reihen so, dass ihre Folgenglieder aufsumiert werden. Damit diese Reihe konvergiert müssen die Folgenglieder irgendwann bei 0 "ankommen" damit nichts mehr aufzummiert werden kann und deine Summe somit bei einem festen Zahlenwert bleibt. Daher sind Nullfolgen für die Konvergenz von Reihen von bedeutung.
zur a)
$ [mm] \summe_{k=1}^{\infty} (((-1)^k)\bruch{1}{k})\cdot{}x^k [/mm] $
Der Teil: [mm] (((-1)^k)\bruch{1}{k}) [/mm] konvergiert auf jeden Fall, weil:
1) alternierende Reihe [mm] (-1)^k \cdot{}\bruch{1}{k}
[/mm]
2) Monoton fallend
3) Nullfolge [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{k}=0
[/mm]
4) Alle Folgenglieder der Folge [mm] \bruch{1}{k} [/mm] sind positiv
Nun musst du dir überlegen wie dein x aussehen muss damit diese Reihe immer noch konvergiert.
Zur b) habe ich folgende Überlegungen:
$ [mm] \summe_{n=1}^{\infty}(\bruch{n^2}{5^n})\cdot{}(x-2)^n [/mm] $
du schaust dir die Folgenglieder mit Hilfe von Quotientenkriterium an:
$ [mm] \left| \bruch{a_n+a}{a_n} \right|<1 [/mm] $ konvergiert
$ [mm] \left| \bruch{a_n+a}{a_n} \right|>1 [/mm] $ divergiert
Daraus folg dann
[mm] \bruch{(n+1)^2\cdot{}(x-2)^{n+1}\cdot{}5^n}{5^{n+1}\cdot{}n^2\cdot{}(x-2)^n)}<1
[/mm]
[mm] \gdw\bruch{(n+1)^2\cdot{}(x-2)^n\cdot{}(x-2)\cdot{}5^n}{5^n\cdot{}5\cdot{}n^2\cdot{}(x-2)°n}<1
[/mm]
[mm] \gdw\bruch{(n+1)^2\cdot{}(x-2)}{n^2}<1 [/mm]
Jetzt musst du halt überlegen welches Wert du für x einsetzen darfst, damit dein Term echt kleiner 1 ist. Und zwar muss deine Folge mit richtigem x (was du finden musst) dann gegen 0 konvergieren.
Ich hoffe ich konnte mich verständlich ausdrücken, bin neu hier .
mfg
Schroet
PS: sorry dass es ein wenig gedauert hat, ich musste zwischen durch afk
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Hallo!
kann ich diese Ungleichung dann einfach nach x auflösen und habe dann meine x in abhängigkeit von n?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:41 Do 13.12.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Dee!
Ich halte es für günstiger, den gesuchten Konvergenzradius gemäß ![[]](/images/popup.gif) dieser Formel(n) zu ermitteln. Dabei brauchst Du auch nur die Koeffizienten vür dem [mm] $(x-a)^n$ [/mm] zu betrachten.
Gruß
Loddar
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