konvergenz und grenzwert < Statistik (Anwend.) < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Für natürliche Zahlen k und d betrachten wir die Mengen [mm] A_{,d}= [/mm] {k+n*d [mm] |n\ge [/mm] 0}
Für [mm] n\in [/mm] N setze
[mm] h_n= \bruch{1}{n}* [/mm] card( [mm] {A_{k,d} \cap {1,...,n} })
[/mm]
wobei card(M) die Anzahl der Elemente einer endlichen Menge M bezeichnet.
Beweise das die Folge [mm] (h_n)_{n\in N} [/mm] konvergiert und berechne den grenzwert.
Interpretiere das Ergebnis! |
so...ich komme mit dieser Aufgabe überhaupt nicht zurecht. Kann mir jemand dabei helfen?
MfG Mathegirl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:43 Di 03.05.2011 | | Autor: | Manatu |
Hallo Mathegirl!
Zunächst schau dir mal die Mengen [mm] $A_{k,d}$ [/mm] genauer an. Wenn dir klar ist, was das für Mengen sind, ist die Aufgabe schon nur noch halb so schwer.
Deshalb will ich damit anfangen:
Die Zahlen [mm]k+n*d[/mm] mit [mm]n \ge 0[/mm] sind alle Zahlen, die bei Division durch $d$ den Rest $k$ lassen. Oder umgekehrt: Du nimmst alle Vielfachen von $d$ und addierst dann $k$ drauf. Alle Zahlen, die du auf diese Weise erhälst, sind in der Menge [mm] %A_{k,d}$.
[/mm]
In der Folge schneidest du nun diese Menge mit der Menge [mm] $\{1,\ldots,n\}$. [/mm] Du betrachtest also nur zwischen $1$ und $n$ alle Zahlen, die aus den Vielfachen von $d$ entstehen, wenn du $k$ drauf addierst.
NUn brauchst du die Anzahl der Elemente in diesem Schnitt. Naja, das ist nun nicht mehr schwer: Vielfache von $d$, die kleiner oder gleich $n$ sind, gibt es genau [mm] $\bruch{n}{d}$ [/mm] viele. Und von den Zahlen in [mm] $A_{k,d}$ [/mm] gibt es auch höchstens genau so viele, denn die Zahlen entstehen ja genau aus den Vielfachen von $d$, indem man jeweils $k$ drauf addiert. Dadurch kann im Bereich [mm] $1,\ldots,n$ [/mm] höchstens noch eine Zahl wegfallen, weil sie dann größer als $n$ ist. Aber mehr können es nicht werden.
Versuch mal damit weiter zu kommen.
Viele Grüße,
Manatu
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Ich verstehe ja wie das gemeint ist und ich kann mir das auch vorstellen, aber ich kann das irgendwie nicht zeigen...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Do 05.05.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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