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| Aufgabe | Es sei f: (0,1)-->R stetig. Existiert [mm] \limes_{x\rightarrow\0,1} [/mm] f(x), so gibt es eine stetige Fortsetzung auf [0,1], d.h. eine stetige Funktion F: [0,1] --> R mit x [mm] \in [/mm] (0,1) impliziert f(x)=F(x).
Ist die Aussage wahr oder falsch? |
Hallo,
wir haben folgende Aufgabenstellung bekommen:
Es sei f: (0,1)-->R stetig. Existiert [mm] \limes_{x\rightarrow\0,1} [/mm] f(x), so gibt es eine stetige Fortsetzung auf [0,1], d.h. eine stetige Funktion F: [0,1] --> R mit x [mm] \in [/mm] (0,1) impliziert f(x)=F(x).
Ist die Aussage wahr oder falsch?
Ich würde sagen: Nein!, da die Funktion F in den Punkten 0, 1 unstetig ist oder etwa nicht???
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:28 Sa 21.03.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Es sei f: (0,1)-->R stetig. Existiert
> [mm]\limes_{x\rightarrow\0,1}[/mm] f(x), so gibt es eine stetige
> Fortsetzung auf [0,1], d.h. eine stetige Funktion F: [0,1]
> --> R mit x [mm]\in[/mm] (0,1) impliziert f(x)=F(x).
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> Ist die Aussage wahr oder falsch?
> Hallo,
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> wir haben folgende Aufgabenstellung bekommen:
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> Es sei f: (0,1)-->R stetig. Existiert
> [mm]\limes_{x\rightarrow\0,1}[/mm] f(x), so gibt es eine stetige
> Fortsetzung auf [0,1], d.h. eine stetige Funktion F: [0,1]
> --> R mit x [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
(0,1) impliziert f(x)=F(x).
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> Ist die Aussage wahr oder falsch?
>
> Ich würde sagen: Nein!, da die Funktion F in den Punkten 0,
> 1 unstetig ist oder etwa nicht???
erstmal zwei Fragen:
1.) Sind bei Euch die Grenzwerte $\pm \infty$ zulässig? Falls ja, könntest Du mit solchen Problemen bekommen.
2.) Wie ist bei Dir $\lim_{x \to 0,1} f(x)$ zu lesen? $x\,$ kann ja nicht gleichzeitig gegen $0\,$ und $1\,$ laufen? Also Sinn macht die Frage für mich eigentlich nur so:
Wenn die beiden Limes $\lim_{x \to 0} f(x)$ und $\lim_{x \to 1}f(1)$ existieren, so kann man $f\,$ zu einer auf $[0,1]$ stetigen Funktion $F\,$ fortsetzen mit $\left.F\right|_{(0,1)}=f\,.$
Also was sicher stimmt:
Falls $g_1:=\lim_{x \to 0} f(x)$ und $g_2:=\lim_{x \to 1} f(x)$ beide in $\IR$ existieren (d.h. $g_1, g_2 \in \IR$, und beachte: $\pm \infty \notin \IR$), so kannst Du
$$F: [0,1] \to \IR$$
durch
$$F(x):=\begin{cases} g_1, & \mbox{für } x=0 \\ f(x), & \mbox{für } 0 < x < 1 \\ g_2, & \text{für }x=1 \end{cases}$$
definieren und dann ist es leicht, nachzuweisen, dass $F\,$ stetig auf $[0,1]\,$ ist, und per Definitionem von $F\,$ gilt dann $F(x)=f(x)$ auf $(0,1)\,.$
Jedenfalls macht es keinen Sinn, zu sagen, dass $F\,$ unstetig ist. In sehr vielen Fällen kann man solch ein $F\,$ hinschreiben, das einzige, was bei der Aufgabe die Existenz eines solchen $F\,$ verhindern könnte, wäre, wenn $|g_1|=\infty$ oder $|g_2|=\infty$ gelten würde. Es kann aber sein, dass ihr die Grenzwerte $\pm \infty$ hier eh als nicht zulässig betrachtet.
Gruß,
Marcel
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