konvergenz rekursiver folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:22 Fr 26.11.2010 | | Autor: | stffn |
| Aufgabe | die Folge [mm] (a_{n})_{n\in\IN} [/mm] sei gegeben durch:
[mm] a_{0}=\bruch{1}{4} [/mm] , [mm] a_{n+1}=a_{n}^2+\bruch{1}{4}.
[/mm]
Zeigen Sie, dass die Folge [mm] (a_{n})_{n\in\IN} [/mm] konvergiert und berechnen Sie den Grenzwert. |
Guten Abend!
Zu der Aufgabe weiß ich zumindest schonmal, dass eine Folge konvergiert, wenn sie monoton und beschränkt ist. Und zwar entweder beides nach oben oder nach unten.
In diesem Fall scheint die Folge ja monoton zu wachsen. Demnach müsste sie, da die Konvergenz ja quasi schon feststeht, nach oben begrenzt sein.
Also muss ich ja zeigen, dass zum einen ein Wert x existiert, für den alle Folgeglieder [mm] a_{n+1} [/mm] kleiner sind und zum anderen, dass [mm] a_{n}\le a_{n+1} [/mm] ist.
Ich wollte jetzt damit anfangen, zuerst die Monotonie per vollständiger Induktion zu beweisen:
(IA): [mm] a_{0}=\bruch{1}{4} \le a_{1} =\bruch{5}{16}
[/mm]
(IB): DIe Aussage [mm] a_{n}\le a_{n+1} [/mm] gilt für ein festes, beliebiges [mm] n\in \IN.
[/mm]
(IB): DIe Aussage [mm] a_{n}\le a_{n+1} [/mm] gilt auch für das Folgeglied [mm] a_{n+1}.
[/mm]
(IS): [mm] a_{n+1}=a_{n}^2+\bruch{1}{4}\ge [/mm] ....
Hier weiß ich nicht wie es weiter geht. was muss ich da einsetzen? Für [mm] a_{n} [/mm] vielleicht [mm] a_{n-1}, [/mm] weil man nach der IV weiß, dass es größer ist? Und dann [mm] \bruch{1}{4} [/mm] abziehen, die Wurzel ziehen und umformen in
[mm] a_{n+1}\ge a_{n}?
[/mm]
Oder sollte ich das ganze anders zeigen. Ist das vielleicht eine Cauchy-Folge?
Oder muss ich zuerst zeigen, dass eine obere Schranke existiert?
Danke für die Tips,
schönes Wochenende!!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:58 Fr 26.11.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> die Folge [mm](a_{n})_{n\in\IN}[/mm] sei gegeben durch:
> [mm]a_{0}=\bruch{1}{4}[/mm] , [mm]a_{n+1}=a_{n}^2+\bruch{1}{4}.[/mm]
> Zeigen Sie, dass die Folge [mm](a_{n})_{n\in\IN}[/mm] konvergiert
> und berechnen Sie den Grenzwert.
>
> Guten Abend!
> Zu der Aufgabe weiß ich zumindest schonmal, dass eine
> Folge konvergiert, wenn sie monoton und beschränkt ist.
> Und zwar entweder beides nach oben oder nach unten.
> In diesem Fall scheint die Folge ja monoton zu wachsen.
> Demnach müsste sie, da die Konvergenz ja quasi schon
> feststeht, nach oben begrenzt sein.
>
> Also muss ich ja zeigen, dass zum einen ein Wert x
> existiert, für den alle Folgeglieder [mm]a_{n+1}[/mm] kleiner sind
> und zum anderen, dass [mm]a_{n}\le a_{n+1}[/mm] ist.
>
> Ich wollte jetzt damit anfangen, zuerst die Monotonie per
> vollständiger Induktion zu beweisen:
>
> (IA): [mm]a_{0}=\bruch{1}{4} \le a_{1} =\bruch{5}{16}[/mm]
> (IB):
> DIe Aussage [mm]a_{n}\le a_{n+1}[/mm] gilt für ein festes,
> beliebiges [mm]n\in \IN.[/mm]
> (IB): DIe Aussage [mm]a_{n}\le a_{n+1}[/mm]
> gilt auch für das Folgeglied [mm]a_{n+1}.[/mm]
> (IS): [mm]a_{n+1}=a_{n}^2+\bruch{1}{4}\ge[/mm] ....
> Hier weiß ich nicht wie es weiter geht. was muss ich da
> einsetzen? Für [mm]a_{n}[/mm] vielleicht [mm]a_{n-1},[/mm] weil man nach der
> IV weiß, dass es größer ist? Und dann [mm]\bruch{1}{4}[/mm]
> abziehen, die Wurzel ziehen und umformen in
> [mm]a_{n+1}\ge a_{n}?[/mm]
Tipp: [mm]a_{n}\le a_{n+1} \gdw a_{n+1}-a_{n} \ge 0[/mm]. Setze [mm]a_{n+1}= a_{n}^2+\bruch{1}{4}[/mm] ein und mache quadratische Ergänzung.
Das gibt dir auch einen Hinweis, wie du die Beschränktheit zeigen kannst.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:58 Sa 27.11.2010 | | Autor: | stffn |
So, endlich Zeit gefunden-
Ich hoffe meine quadratische Ergänzung ist richtig:
[mm] a_{n}^2-a_{n}+\bruch{1}{4}=a_{n}^2-a_{n}+(-\bruch{1}{2})^2-(-\bruch{1}{2})^2+\bruch{1}{4}=(a_{n}+(-\bruch{1}{2}))^2-(-\bruch{1}{2})^2+\bruch{1}{4}=(a_{n}+(-\bruch{1}{2}))^2-\bruch{1}{4}+\bruch{1}{4}
[/mm]
[mm] \Rightarrow S(\bruch{1}{2}|0)
[/mm]
Damit habe ich [mm] \bruch{1}{2} [/mm] als obere Schranke angenommen:
[mm] a_{n+1}=a_{n}^2+\bruch{1}{4}\underbrace{\le}_{a_{n}\le\bruch{1}{2}} (\bruch{1}{2})^2+\bruch{1}{4}=\bruch{1}{2}
[/mm]
Aber wie zeige ich das jetzt mit der monotonie?
Kann ich das so machen:
[mm] a_{n+1}=a_{n}^2+\bruch{1}{4} \ge a_{n}
[/mm]
[mm] \gdw a_{n}^2+\bruch{1}{4}-a_{n}\ge [/mm] 0
Jetzt, um die Extrema zu suchen, die erste Ablt. davon nehmen und gleich 0 setzen:
[mm] 2a_{n}-1=0
[/mm]
[mm] a_{n}=\bruch{1}{2}.
[/mm]
Also ist [mm] \bruch{1}{2} [/mm] der einzige Häufungspunkt und damit ist die kovergenz bewiesen. Wenn das so stimmen sollte, geht es bestimmt trotzdem noch leichten. Oder?
Schönen ABend!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:40 So 28.11.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> So, endlich Zeit gefunden-
> Ich hoffe meine quadratische Ergänzung ist richtig:
>
> [mm]a_{n}^2-a_{n}+\bruch{1}{4}=a_{n}^2-a_{n}+(-\bruch{1}{2})^2-(-\bruch{1}{2})^2+\bruch{1}{4}=(a_{n}+(-\bruch{1}{2}))^2-(-\bruch{1}{2})^2+\bruch{1}{4}=(a_{n}+(-\bruch{1}{2}))^2-\bruch{1}{4}+\bruch{1}{4}[/mm]
OK.
> [mm]\Rightarrow S(\bruch{1}{2}|0)[/mm]
Was bedeutet diese Zeile?
> Damit habe ich [mm]\bruch{1}{2}[/mm] als obere Schranke angenommen:
>
> [mm]a_{n+1}=a_{n}^2+\bruch{1}{4}\underbrace{\le}_{a_{n}\le\bruch{1}{2}} (\bruch{1}{2})^2+\bruch{1}{4}=\bruch{1}{2}[/mm]
OK, das ist der Induktionsschritt für den Nachweis der Beschränktheit.
>
> Aber wie zeige ich das jetzt mit der monotonie?
Das hast du doch schon gezeigt:
[mm]a_{n+1}-a_n = \left(a_n-\bruch{1}{2}\right)^2 \ge 0 [/mm]
>
> Kann ich das so machen:
> [mm]a_{n+1}=a_{n}^2+\bruch{1}{4} \ge a_{n}[/mm]
> [mm]\gdw a_{n}^2+\bruch{1}{4}-a_{n}\ge 0[/mm]
> 0
>
> Jetzt, um die Extrema zu suchen, die erste Ablt. davon
> nehmen und gleich 0 setzen:
>
> [mm]2a_{n}-1=0[/mm]
> [mm]a_{n}=\bruch{1}{2}.[/mm]
>
> Also ist [mm]\bruch{1}{2}[/mm] der einzige Häufungspunkt und damit
> ist die kovergenz bewiesen.
Verstehe ich nicht. Du hast Monotonie und Beschränktheit und damit Konvergenz. Wie willst du eine Ableitung ausrechnen, du hast doch eine Folge und keine stetige Funktion von irgendetwas.
Du musst jetzt noch den Grenzwert ausrechnen.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:34 So 28.11.2010 | | Autor: | stffn |
Ja, das mit der Ableitung ist natürlich völliger Schwachsinn. Wie dumm von mir.
Aber ich verstehe trotzdem nicht, wo ich die Monotonie gezeigt habe?
Also das soll ja hiermit bewiesen worden sein:
$ [mm] a_{n+1}-a_n [/mm] = [mm] \left(a_n-\bruch{1}{2}\right)^2 \ge [/mm] 0 $.
Ist das jetzt gezeigt, nur weil die Ungleichung für alle [mm] a_{n} [/mm] stimmt?
$ [mm] \Rightarrow S(\bruch{1}{2}|0) [/mm] $ Das ist doch mein Scheitelpunkt, nicht wahr? Ich kenne das bisher nur von Funktionen, deshalb kann ich mir darunter nicht so 100 prozentig was vorstellen in Bezug auf Folgen. Ich habe es bisher als Häufungspunkt gesehen.
Zu dem Grenzwert:
Da in unendlich naher Umgebung vom Grenzwert (die Formulierung ist bestimmt etwas ungünstig) [mm] a_{n}=a_{n+1} [/mm] sein muss, habe ich das einfach gleichgesetzt und natürlich [mm] a_{n}=\bruch{1}{2} [/mm] heraus bekommen, was damit auch der Grenzwert ist.
Ich wünsche einen guten Start in die neue Woche!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:38 Mo 29.11.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
> [mm]a_{n+1}-a_n = \left(a_n-\bruch{1}{2}\right)^2 \ge 0 [/mm].
Das ist der Nachweis der Monotonie
Und vorher hast Du ja gezeigt das gilt [mm] a_{n+1}=a_n^2+\br{1}{4}\le\br{1}{2} [/mm] falls [mm] a_n\le\br{1}{2} [/mm] ist. Das ist der Induktionsschluss und weil [mm] a_0=\br{1}{4}\le\br{1}{2} [/mm] hast Du alles bewiesen.
Damit ist die Folge monoton steigend und beschränkt, also konvergent und der Grenzwert stimmt.
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