konvergenz oder divergenz < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:56 So 06.02.2011 | | Autor: | kioto |
| Aufgabe | | benutzen sie wurzel- oder quotientenkriterium um zu entscheiden, ob die reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty} [/mm] konvergent oder divergent ist |
ich nehme das quotientenkriterium (weil ich grundsätzlich wurzel häßlich find......)
[mm] a_{n}=\bruch{n^4}{3^n}
[/mm]
[mm] |\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}|= \bruch{(n+1)^4}{3^{n+1}}/\bruch{n^4}{3^n} [/mm] = [mm] \bruch{(n+1)^4}{3^{n+1}} [/mm] * [mm] \bruch{3^n}{n^4}=\bruch{(n+1)^4}{3n^4}=1/\bruch{3n^4}{(n+1)^4}
[/mm]
und da komm ich nicht mehr weiter
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> benutzen sie wurzel- oder quotientenkriterium um zu
> entscheiden, ob die reihe [mm]\summe_{n=1}^{\infty}[/mm] konvergent
> oder divergent ist
> ich nehme das quotientenkriterium (weil ich grundsätzlich
> wurzel häßlich find......)
sowas sollte aber nicht eine wahl eines kriteriums ausmachen
>
> [mm]a_{n}=\bruch{n^4}{3^n}[/mm]
>
> [mm]|\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}|= \bruch{(n+1)^4}{3^{n+1}}/\bruch{n^4}{3^n}[/mm]
> = [mm]\bruch{(n+1)^4}{3^{n+1}}[/mm] *
> [mm][mm] \bruch{3^n}{n^4}=\bruch{(n+1)^4}{3n^4}
[/mm]
hier sieht man entweder dass 1/3 als grenzwert für n gegen [mm] \infty [/mm] heraus kommt, oder du wandelst de l'hopital an, oder klammerst in zähler und nenner den höchstvorkommenden koeffizienten von n aus (hier [mm] n^4) [/mm] und machst dann den grenzübergang
>
> und da komm ich nicht mehr weiter
gruß tee
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:07 Mo 07.02.2011 | | Autor: | kioto |
> > benutzen sie wurzel- oder quotientenkriterium um zu
> > entscheiden, ob die reihe [mm]\summe_{n=1}^{\infty}[/mm] konvergent
> > oder divergent ist
> > ich nehme das quotientenkriterium (weil ich
> grundsätzlich
> > wurzel häßlich find......)
> sowas sollte aber nicht eine wahl eines kriteriums
> ausmachen
das ist auch mein problem, ich weiß nicht wann welches kriterium besser geeignet ist, aber mit quotienten ist es doch einfacher zu rechnen oder nicht?
> > [mm]a_{n}=\bruch{n^4}{3^n}[/mm]
> >
> > [mm]|\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}|= \bruch{(n+1)^4}{3^{n+1}}/\bruch{n^4}{3^n}[/mm]
> > = [mm]\bruch{(n+1)^4}{3^{n+1}}[/mm] *
> > [mm][mm]\bruch{3^n}{n^4}=\bruch{(n+1)^4}{3n^4}[/mm]
hier sieht man entweder dass 1/3 als grenzwert für n gegen [mm]\infty[/mm] heraus kommt, oder du wandelst de l'hopital an, oder klammerst in zähler und nenner den höchstvorkommenden koeffizienten von n aus (hier [mm]n^4)[/mm] und machst dann den grenzübergang
>
> und da komm ich nicht mehr weiter
gruß tee
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Huhu,
> das ist auch mein problem, ich weiß nicht wann welches
> kriterium besser geeignet ist, aber mit quotienten ist es
> doch einfacher zu rechnen oder nicht?
wenn dir Quotienten besser liegen, vielleicht.
Aber je nach Ausgangslage geht das Wurzelkriterium auch schneller, bspw. bei deiner Folge:
[mm] $\sqrt[n]{\bruch{n^4}{3^n}} [/mm] = [mm] \bruch{\sqrt[n]{n^4}}{3} \to \bruch{1}{3}$
[/mm]
Eins haben aber beide Verfharen gemein: Du musst bekannte Grenzwerte kennen, und eher daran scheint es bei dir zu hapern!
Desweiteren ist das Wurzelkriterium "mächtiger", d.h. es gibt Fälle, wo das Quotientenkriterium nicht anwendbar ist, das Wurzelkriterium allerdings schon.
MFG,
Gono.
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