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| Aufgabe | Sei $g := [mm] \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$.
[/mm]
Zeigen Sie, dass die Folge [mm] $a_n$ [/mm] definiert als:
[mm] $a_0 [/mm] = 1$, [mm] $a_n [/mm] = 1 + [mm] \frac{1}{a_{n-1}}$ [/mm] gegen g konvergiert. |
moin,
Ich hänge bei dieser Aufgabe leider grad ein wenig fest...
Ich habe gezeigt, dass die Folge WENN sie konvergiert gegen g konvergieren muss.
Ich habe auch gezeigt, dass sie durch 1 nach unten beschränkt ist.
Leider macht mir die obere Schranke Sorgen...
Außerdem scheint die Folge auch nicht wirklich monoton zu sein, was ebenfalls ein Problem darstellt, da ich bisher "monoton und beschränkt [mm] $\Rightarrow$ [/mm] konvergent" als einzige Beweismethode für rekursiv definierte Folgen kenne...
Also wenn da jemand ein paar Tipps für mich hätte wäre das echt praktisch. ;)
thx und lg
Schadow
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> Sei [mm]g := \frac{1 + \sqrt{5}}{2}[/mm].
> Zeigen Sie, dass die
> Folge [mm]a_n[/mm] definiert als:
> [mm]a_0 = 1[/mm], [mm]a_n = 1 + \frac{1}{a_{n-1}}[/mm] gegen g konvergiert.
> moin,
>
> Ich hänge bei dieser Aufgabe leider grad ein wenig
> fest...
> Ich habe gezeigt, dass die Folge WENN sie konvergiert
> gegen g konvergieren muss.
> Ich habe auch gezeigt, dass sie durch 1 nach unten
> beschränkt ist.
> Leider macht mir die obere Schranke Sorgen...
Aus [mm] $a_{n-1}\ge [/mm] 1$ folgt [mm] $a_n\le [/mm] 2$.
Damit hast du eine obere Schranke.
> Außerdem scheint die Folge auch nicht wirklich monoton zu
> sein, was ebenfalls ein Problem darstellt, da ich bisher
> "monoton und beschränkt [mm]\Rightarrow[/mm] konvergent" als
> einzige Beweismethode für rekursiv definierte Folgen
> kenne...
Hier könntest du z.B. zeigen, dass die Teilfolge [mm] (a_{2n}) [/mm] monoton wachsend ist mit [mm] $a_{2n}\le [/mm] g$.
Aus [mm] $\lim a_{2n}=g$ [/mm] folgt dann schnell [mm] $\lim a_n=g$
[/mm]
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> Also wenn da jemand ein paar Tipps für mich hätte wäre
> das echt praktisch. ;)
>
> thx und lg
>
> Schadow
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:11 So 13.11.2011 | | Autor: | donquijote |
> > Sei [mm]g := \frac{1 + \sqrt{5}}{2}[/mm].
> > Zeigen Sie, dass die
> > Folge [mm]a_n[/mm] definiert als:
> > [mm]a_0 = 1[/mm], [mm]a_n = 1 + \frac{1}{a_{n-1}}[/mm] gegen g
> konvergiert.
> > moin,
> >
> > Ich hänge bei dieser Aufgabe leider grad ein wenig
> > fest...
> > Ich habe gezeigt, dass die Folge WENN sie konvergiert
> > gegen g konvergieren muss.
> > Ich habe auch gezeigt, dass sie durch 1 nach unten
> > beschränkt ist.
> > Leider macht mir die obere Schranke Sorgen...
>
> Aus [mm]a_{n-1}\ge 1[/mm] folgt [mm]a_n\le 2[/mm].
> Damit hast du eine obere
> Schranke.
>
> > Außerdem scheint die Folge auch nicht wirklich monoton zu
> > sein, was ebenfalls ein Problem darstellt, da ich bisher
> > "monoton und beschränkt [mm]\Rightarrow[/mm] konvergent" als
> > einzige Beweismethode für rekursiv definierte Folgen
> > kenne...
>
> Hier könntest du z.B. zeigen, dass die Teilfolge [mm](a_{2n})[/mm]
> monoton wachsend ist mit [mm]a_{2n}\le g[/mm].
> Aus [mm]\lim a_{2n}=g[/mm]
> folgt dann schnell [mm]\lim a_n=g[/mm]
>
> >
> > Also wenn da jemand ein paar Tipps für mich hätte wäre
> > das echt praktisch. ;)
> >
> > thx und lg
> >
> > Schadow
>
Es sollte auch so gehen:
Zunächst folgt aus [mm] $a_{n-1}\le [/mm] 2$, dass [mm] $a_n\ge\frac{3}{2}$ [/mm] für [mm] $n\ge [/mm] 1$
Mit [mm] $g=1+\frac{1}{g}$ [/mm] erhält man
[mm] $|a_n-g|=|1+\frac{1}{a_{n-1}}-(1+\frac{1}{g})|=|\frac{1}{a_{n-1}}-\frac{1}{g}|\le\frac{1}{2}*|a_{n-1}-g|$
[/mm]
Diese letzte Ungleichung folgt daraus, dass für [mm] $f(x)=\frac{1}{x}$ [/mm] gilt [mm] $|f'(x)|\le\frac{1}{2}$ [/mm] auf dem Intervall [mm] $[\frac{3}{2},2]$
[/mm]
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