konvergenz einer reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:09 Mi 20.04.2011 | | Autor: | TaZ-z |
| Aufgabe | a) konvergiert [mm] \beta(s) [/mm] = [mm] \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k+1)^s} [/mm] ?
b) $c = [mm] \lim\limits_{s \to \infty} \beta(s)$ [/mm] Grenzwert bestimmen |
wie bekomme ich raus, dass diese reihe konvergiert? ich habe zuerst an das leibniz-kriterium gedacht, jedoch ist [mm] \frac{1}{(2k+1)^s} [/mm] keine monoton fallende nullfolge für s < 1. daher kann ich das hier nicht anwenden, oder?
auch für die b) bringt mich das s irgendwie "aus der reihe"...
wäre echt super dankbar, wenn mir hier jemand einen lösungsweg skizzieren könnte. schonmal vielen dank!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:35 Mi 20.04.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
warum soll [mm] (2k+1)^s [/mm] mit 0<s<1 nicht monoton mit k steigen?
die Summe soll ja nur für s gegen unendlich gezeigt werden. dazu sieh dir erstmal an, was rauskommt, wenn du nur bis n summierst, dann kannst du die GW der Summanden für s gegen [mm] \infty [/mm] einzeln ausrechnen und dann n gegen [mm] \infty.
[/mm]
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:37 Mi 20.04.2011 | | Autor: | TaZ-z |
du/sie (?) hast natürlich recht... total verblendet... :(
also kann ich mit dem leibniz kriterium zeigen, dass diese reihe konvergiert?
zur b)
also wenn ich jetzt den GW für s -> inf, kann ich den limes in der summe in den nenner ziehen. der nenner geht gegen unendlich, als ein einzelner summand gegen 0. habe ich dadurch jetzt schon einen erkenntnisgewinn? sorry, ich steh irgendwie gerade auf dem schlauch...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:48 Mi 20.04.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja Leibniz löst a)
1. der Bruch für k=0 ist 1 unabh von s
die summe bis zu einem bel. n wird jeder Summand 0
für endliche summen gilt ja lim der Summe= summe der lim, fals die existieren.
also zeigs erst für jede endliche summe, bis n und begründe es, dann n gegen unendlich.
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:19 Mi 20.04.2011 | | Autor: | TaZ-z |
also, die feststellung, das ein einzelner summand der endlichen summe als grenzwert 0 hat, ist richtig?
nach deiner aussage ist dann der grenzwert der summe = summe der grenzwerte der einzelnen summanden, was hier 0 wäre => grenzwert der summe = 0, aber das ist doch irgendwie quatsch, oder?
ich denke, ich verraffe hier gerade was... :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:13 Do 21.04.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> also, die feststellung, das ein einzelner summand der
> endlichen summe als grenzwert 0 hat, ist richtig?
> nach deiner aussage ist dann der grenzwert der summe =
> summe der grenzwerte der einzelnen summanden, was hier 0
> wäre => grenzwert der summe = 0, aber das ist doch
> irgendwie quatsch, oder?
> ich denke, ich verraffe hier gerade was... :(
ich hab' das von Leduart vorgeschlagene auch nicht ganz gerafft. Was man vielleicht machen kann:
Sei
[mm] $$c:=\lim_{s \to \infty}\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k+1)^s}$$
[/mm]
(unter der - glaube ich - noch nicht geklärten Annahme, dass dieser Limes existiert; aber das kann ja auch ein Ergebnis der Überlegungen werden)
und für jedes [mm] $n\,$ [/mm] setzen wir
[mm] $$\beta_n(s):=\sum\limits_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{(2k+1)^s}\,.$$
[/mm]
sowie
[mm] $$c_n:=\lim_{s \to \infty} \beta_n(s)\,.$$
[/mm]
Klar ist per Definitionem dann
[mm] $$c=\lim_{s \to \infty} \lim_{n \to \infty}\beta_n(s)\,.$$
[/mm]
Leduart meint nun (wenn ich ihn recht verstehe), dass man diese beiden Limites einfach vertauschen kann (was aber eines Arguments Bedarf), dass also
[mm] $$c=\lim_{n \to \infty} \lim_{s \to \infty} \beta_n(s)=\lim_{n \to \infty}c_n$$
[/mm]
gelte. Das ist meines Erachtens aber nicht trivial (mir ist es jedenfalls momentan nicht ganz klar).
Edit:
Eine Begründung kann man vielleicht so machen:
Für jedes (genügend große) [mm] $s\,$ [/mm] und jedes [mm] $n\,$ [/mm] setze [mm] $\beta_n(s)$ [/mm] so wie oben fest. Nun wäre folgendes schön:
Man begründet nun, dass [mm] $\beta_n(s) \to \beta_\infty(s):=\lim_{n \to \infty}\beta_n(s)$ [/mm] gleichmäßig gilt (bzgl. [mm] $[s_0,\infty)$ [/mm] für ein genügend großes [mm] $s_0$). [/mm] (Ich HOFFE, dass das klappt.) Die [mm] $\beta_n$ [/mm] sind stetig auf [mm] $[s_0,\infty)\,,$ [/mm] also ist auch [mm] $\beta_\infty$ [/mm] auf [mm] $[s_0,\infty)$ [/mm] stetig. Vielleicht kommt man ja damit dann weiter...
Gruß,
Marcel
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