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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:02 Mi 17.06.2009 | | Autor: | martinii |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass die Reihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty} z^n [/mm] für [mm] z\inC [/mm] mit |z| < 1 Konvergiert |
Hallo Leute,
Leider hab ich nicht so viel ahnung wie ich das machen soll.
da [mm] z^n [/mm] steht, hab ich mir gedacht, das es was mit der geometrischen Reihe zu tun haben könnte. Allerdring bringt mich das nicht gerade weiter.
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} z^n [/mm] = 1/(1-z) Aber wie mache ich weiter, falls das der richtige Weg ist.
Außerdem wenn ich ja zeig, das die Reihe absolut konvergiert muss ja auch die Reihe normal konvergieren. --> |z| = [mm] \wurzel{x^2+y^2} [/mm] wenn z=x+yi ist.
daraus würde ja folgen
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} z^n [/mm] = [mm] (\wurzel{x^2+y^2})^n. [/mm] Aber da weiß ihc auch nicht mehr weiter.
Vll kann mir ja jdm von euch helfen.
Danke schon mal.
Martina
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
Also zum einen könntest du per Induktion zeigen, dass für [mm] s_{n}=\summe_{k=0}^{n} z^{k}= \bruch{1-z^{n+1}}{1-z}. [/mm] Des weiteren muss natürlich gelten, dass [mm] a_{n}=z^{n} \forall|z|<1, [/mm] z [mm] \in \IC [/mm] gegen 0 konvergiert, damit das notwendige Kriterium [mm] (a_{n} [/mm] muss Nullfolge sein,) erfüllt ist.
Ich helf dir mal dabei: [mm] Vor.:a_{n}= z^{n}, [/mm] z [mm] \in \IC [/mm] fest
Beh.: [mm] a_{n}\to [/mm] 0 falls |z|<1
Bew.: Sei [mm] \varepsilon>0 [/mm] bel. aber fest. Wähle x= [mm] \bruch{1}{|z|} [/mm] -1 >0 und N>... . Für n [mm] \ge [/mm] N gilt: [mm] |z^{n} [/mm] -0| [mm] =|z^{n}|=|z|^{n} =\bruch{1}{(1+x)^{n}}. [/mm] Wenn du das nun nach Bernoulli-Ungleichung abschätzt, solltest du auf den Rest kommen.
Wenn du zeigen konntest, dass [mm] z^{n} [/mm] Nullfolge ist, kannst du daraus folgern, dass [mm] 1-z^{n+1} [/mm] für n [mm] \to \infty [/mm] gegen 1 geht und somit die gesamte Reihe gegen [mm] \bruch{1}{1-z} [/mm] strebt.
Viele Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:19 Do 18.06.2009 | | Autor: | martinii |
ok.
ich probier das mal ob ich drauf komm.
vielen dank für deine hilfe
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