konvergente Reihe < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:39 Mo 10.10.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Ich habe folgende Frage:
Für eine reelle Reihe gilt der Satz:
Eine Reihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_n [/mm] reeller Zahlen mit [mm] $a_n\ge [/mm] 0$ für alle [mm] n\in\IN [/mm] konvergiert genau dann, wenn die Reihe (d.h. die Folge der Partialsummen) beschränkt ist.
Warum definiert man denn dann die Konvergenz einer komplexen Folge nicht genauso? Die ist nämlich so definiert:
Eine Reihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty}c_n [/mm] komplexer Zahlen heißt konvergent, wenn die Folge der Partialsummen [mm] s_n:=\summe_{k=0}^nc_n, n\in\IN, [/mm] konvergiert.
Ich finde das etwas verwirrend, und kann mir im Moment noch nicht vorstellen, warum das so ist.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:49 Mo 10.10.2005 | | Autor: | taura |
Hallo Christiane!
Ich bin mir nicht ganz sicher, ob das die richtige Begründung ist, aber ich glaube es hängt damit zusammen, dass im Komplexen der Begriff "beschränkt" was anderes bedeutet als im Reellen. Da es im Komplexen keine Ordnung gibt, kannst du für die komplexen Zahlen Beschränktheit nur betraglich definieren. Wenn jetzt aber eine Reihe im Komplexen betraglich beschränkt ist, heißt das ja noch nicht, dass sie konvergiert, denn sie kann sich ja "im Kreis drehen" und hätte damit zwar Häufungspunkte, aber nicht unbedingt einen Grenzwert...
Ich hoffe das hilft dir, bzw. es ist einigermaßen verständlich 
Gruß Biggi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:37 Mo 10.10.2005 | | Autor: | SEcki |
> Eine Reihe [mm]\summe_{n=0}^{\infty}a_n[/mm] reeller Zahlen mit
> [mm]a_n\ge 0[/mm] für alle [mm]n\in\IN[/mm] konvergiert genau dann, wenn die
> Reihe (d.h. die Folge der Partialsummen) beschränkt ist.
Das scheint mir aber eher ein Satz zu sein, als eine Definition (und der Satz ist ja sehr, sehr leicht zu beweisen ...). Du hast ja da auch dick und fett "Satz" drübergeschrieben?!?
> Warum definiert man denn dann die Konvergenz einer
> komplexen Folge nicht genauso? Die ist nämlich so
> definiert:
Aber da steht was anderes! hier wird konvergeirt definiert - aber oben nicht.
> Eine Reihe [mm]\summe_{n=0}^{\infty}c_n[/mm] komplexer Zahlen heißt
> konvergent, wenn die Folge der Partialsummen
> [mm]s_n:=\summe_{k=0}^nc_n, n\in\IN,[/mm] konvergiert.
So definiert man auch Reihenkonvergenz, auch wenn alle Glieder positiv sind. Das beschränkt in dem Fall keinen Sinn macht, sthet ja schon im anderen Post - viel mehr noch: die alternierende Rihe mit [m]\pm 1[/m] ist ja schon ein Gegenbeispiel.
> Ich finde das etwas verwirrend, und kann mir im Moment noch
> nicht vorstellen, warum das so ist.
Einen Satz für eine Definition gehalten?
SEcki
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