konvergente Funktionenfolge < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:26 Mo 02.09.2013 | | Autor: | ezio59 |
| Aufgabe | | Geben Sie eine in [mm] L1(\IR) [/mm] konvergente Folge von Funktionen an, für die keine Teilfolge punktweise in [mm] \IR [/mm] konvergiert. |
Hallo allerseits,
leider kann ich keine konvergente Funktionenfolge in [mm] L1(\IR) [/mm] finden, wobei keine Teilfolge der gefundenen Funktionenfolge punktweise in [mm] \IR [/mm] konvergiert.
Brauche eure Hilfe bei der vorgegebenen Aufgabenstellung.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hi,
ich geb dir mal eine Funktion. Ob sie deinen Ansprüchen genügt, überlass ich mal dir zu zeigen 
[mm] $f_n [/mm] = [mm] 1_{\left[\bruch{k}{2^m},\bruch{k+1}{2^m}\right)}$ [/mm] für [mm] $n=2^m [/mm] + k, [mm] k\in \left[0,\ldots,2^m - 1\right]$
[/mm]
edit: Ich merke gerade, dass es hier durchaus eine Teilfolge gibt, die punktweise konvergiert.
Die Funktion ist aber ein schönes Gegenbeispiel für etwas anderes
Die Aufgabe ist etwas seltsam. Ist mit punktweiser Konvergenz auf [mm] $\IR$ [/mm] die "fast sichere punktweise Konvergenz" gemeint oder die "für alle [mm] x\in\IR" [/mm] Konvergenz?
In beiden Fällen ist die Lösung aber irgendwie trivial und damit die Aufgabe sinnfrei.
Im ersten Fall gibt es keine solche Funktion (warum?), im zweiten Fall kannst du dir eine solche Funktion recht einfach konstruieren, indem du eine normale Folge nimmst, die für keine Teilfolge konvergiert.
MFG,
Gono.
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