konvergente Folgen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:07 Fr 25.11.2005 | | Autor: | tj4life |
Wer hat einen Tipp für diese Aufgabe?
Es seien [mm] (a^{i}n)n \in \IN, [/mm] i=1,...,k konvergente Folgen mit entsprechenden Grenzwerten [mm] a^{i}, [/mm] i=1,....,k (i bezeichnet keinen Exponenten sondern einen Index).
Zeigen Sie, dass für reelle [mm] \lambda^{i}, [/mm] i=1,...,k gilt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{i=1}^{k} \lambda^{i} a^{i}n [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{k} \lambda^{i} a^{i}
[/mm]
für k=2 und dann aber auch für allgemeines k. Dabei soll man den [mm] "\varepsilon"-Beweis [/mm] führen!
Ich hab leider gar keine Ahnung!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:18 Fr 25.11.2005 | | Autor: | momi |
weiß nit genau ob du mit meinem tipp weiterkommst, aber soweit ich das sehe würde ich versuchen die Summe in die einzlnen summanden aufspalten, dann kanst du auch den limes auf die einzelnen summanden aufteilen und dein Lambda bleibt ist ja konstant für jede folge also kannst du das Lambda vor dein Limes stellen, dann musst du nur noch die voraussetzung anwenden und dann kommst du zum Ergebnis.
Hoffe das dies richtig ist, bin selbst erst Mathe student seit 2 Monaten also alles Neuland für mich.
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> Es seien [mm](a^{i}n)n \in \IN,[/mm] i=1,...,k konvergente Folgen
> mit entsprechenden Grenzwerten [mm]a^{i},[/mm] i=1,....,k (i
> bezeichnet keinen Exponenten sondern einen Index).
> Zeigen Sie, dass für reelle [mm]\lambda^{i},[/mm] i=1,...,k gilt:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{i=1}^{k} \lambda^{i} a^{i}n[/mm]
> = [mm]\summe_{i=1}^{k} \lambda^{i} a^{i}[/mm]
> für k=2 und dann
> aber auch für allgemeines k.
Hallo,
gehen wir's erstmal für k=2 an, wenn man das kann, kann man alles.
Die beiden Folgen ( [mm] a_{n}^{(1)}) [/mm] und ( [mm] a_{n}^{(2)}) [/mm] haben den Grenzwert [mm] a^1 [/mm] bzw. [mm] a^2.
[/mm]
Schreib Dir nun einmal in der [mm] \varepsilon [/mm] - Definition auf, was das bedeutet.
Für den weiteren Verlauf mußt Du berücksichtigen, daß Dein N oder [mm] n_0, [/mm] was in der Def. vorkommt, nicht unbedingt bei der ersten und zweiten Folge das gleiche ist. Aber das macht nichts: N bzw. [mm] n_0 [/mm] gibt ja immer nur einen "Schwellenwert" an.
Nun sollst Du ja zeigen, daß für beliebige [mm] \lambda^{(1)}, \lambda^{(2)} [/mm] die Folge [mm] (\lambda^{(1)}a_{n}^{(1)}+\lambda^{(2)}a_{n}^{(2)}) [/mm] gegen [mm] \lambda^{(1)}a^{(1)}+\lambda^{(2)}a^{(2)} [/mm] konvergiert.
Da ausdrücklich etwas mit [mm] \varepsilon [/mm] gefordert ist, fängt man sinnigerweise an mit
Sei [mm] \varepsilon [/mm] >0. Für alle n [mm] \ge [/mm] ... (das kann man sich etwas später noch überlegen) gilt
| [mm] (\lambda^{(1)}a_{n}^{(1)}+\lambda^{(2)}a_{n}^{(2)})- (\lambda^{(1)}a^{(1)}+\lambda^{(2)}a^{(2)} [/mm] ) | =...
Dies muß nun abgeschätzt werden mit Dreiecksungleichung und Voraussetzung.
Gruß v. Angela
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