konv & gw einer reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:46 Do 19.07.2007 | | Autor: | Zerwas |
| Aufgabe | Untersuchen Sie die Reihe
[mm] \summe_{n=1}^\infty(3(\bruch{1}{4})^{n-1}+(\bruch{3}{4})^{n-1})
[/mm]
auf Konvergenz. Geben Sie für den Fall, dass sie konvergiert den Grenzwert an. |
Ich kann [mm] \summe_{n=1}^\infty(3(\bruch{1}{4})^{n-1}+(\bruch{3}{4})^{n-1}) [/mm] zerlegen in [mm] :\summe_{n=1}^\infty3(\bruch{1}{4})^{n-1} [/mm] + [mm] \summe_{n=1}^\infty(\bruch{3}{4})^{n-1} [/mm] und damit konvergiert die Summe der Summen wenn beide Untersummen konvergieren:
[mm] Zuerst\summe_{n=1}^\infty3(\bruch{1}{4})^{n-1}:
[/mm]
Mit dem QK erhalte ich:
[mm] |\bruch{3(\bruch{1}{4})^{n-1}(\bruch{1}{4})}{3(\bruch{1}{4})^{n-1}}|=|\bruch{1}{4}|<1
[/mm]
[mm] Dann\summe_{n=1}^\infty(\bruch{3}{4})^{n-1}:
[/mm]
Auch hier QK:
[mm] |\bruch{(\bruch{3}{4})^{n-1}*(\bruch{3}{4})}{(\bruch{3}{4})^{n-1}}|=|\bruch{3}{4}|<1
[/mm]
also konvergieren die beiden Teilreihen und damit auch die gesamte Reihe.
Jetzt zum Wert der Reihe:
ICh bekomme hier keine Partialbruchzerlegung hin um eine Teleskopsumme zu erhalten. Mache ich etwas falsch oder gibt es eine andere Möglichkeit den Wert zu erhalten in diesem Fall und ich sehe sie nur nicht?
Gruß Zerwas
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Hallo zerwas!
Du hast hier doch zwei ![[]](/images/popup.gif) geometrische Reihen vorliegen, deren Grenzwert Du jeweils nach folgender Formel berechnen kannst:
[mm] $s_{\infty} [/mm] \ = \ [mm] \summe_{k=0}^{\infty}a_0*q^k [/mm] \ = \ [mm] a_0*\bruch{1}{1-q}$ [/mm] für $|q| \ < \ 1$
![[aufgemerkt]](/images/smileys/aufgemerkt.gif "[aufgemerkt]") Aufpassen jedoch bei den Startwerten bzw. Indizes der jeweiligen Reihen.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:11 Do 19.07.2007 | | Autor: | Zerwas |
Autsch ...okay klar ...
Angefangen mit [mm] \summe_{n=1}^\infty3(\bruch{1}{4})^{n-1}:
[/mm]
Zuerst muss ich den Index verschieben und erhalte dann:
[mm] \summe_{n=1}^\infty3(\bruch{1}{4})^{n-1} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^\infty3(\bruch{1}{4})^{n}
[/mm]
Dann ist [mm] \summe_{n=0}^\infty3(\bruch{1}{4})^{n} [/mm] = [mm] 3*\bruch{1}{1-\bruch{1}{4}} [/mm] = [mm] 3*\bruch{4}{3} [/mm] = 4
[mm] Dann\summe_{n=1}^\infty(\bruch{3}{4})^{n-1}:
[/mm]
Auch hier den Index verschieben:
[mm] \summe_{n=1}^\infty(\bruch{3}{4})^{n-1} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^\infty(\bruch{3}{4})^{n} [/mm] = [mm] 1*\bruch{1}{1-\bruch{3}{4}} [/mm] = [mm] \bruch{4}{1} [/mm] = 4
Und damit ist [mm] \summe_{n=1}^\infty(3(\bruch{1}{4})^{n-1}+(\bruch{3}{4})^{n-1})= [/mm] 4+4 = 8.
Korrekt so?
Gruß Zerwas
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> Und damit ist
> [mm]\summe_{n=1}^\infty(3(\bruch{1}{4})^{n-1}+(\bruch{3}{4})^{n-1})=[/mm]
> 4+4 = 8.
>
> Korrekt so?
Ja.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:47 Do 19.07.2007 | | Autor: | Zerwas |
okay stimmt ... habe den post erst jetzt gelesen.
Die absolute Konvergenz zu zeigen ist ja recht einfach wenn mein Gedankengang stimmt:
[mm] \summe_{n=1}^\infty|3(\bruch{1}{4})^{n-1}+(\bruch{3}{4})^{n-1}| [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^\infty(3(\bruch{1}{4})^{n-1}+(\bruch{3}{4})^{n-1}) [/mm] ,da [mm] (3(\bruch{1}{4})^{n-1}+(\bruch{3}{4})^{n-1}) [/mm] > 0 [mm] \forall n\in\IN [/mm]
Also konvergiert die Reihe wenn sie konvergiert (was ja im vorherigen Post gezeig wurde) auch absolut.
Kann ich das so machen?
Gruß Zerwas
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Hallo,
vergiß alles, was ich gesagt habe. Ich hatte einen Doppelknoten im Gehirn.
Gruß v. Angela
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