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konv. konkave Fkt: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:21 So 30.11.2014
Autor: ivanhoe

Aufgabe
Sei $p$ eine konkave, nicht negative Funktion auf $[0,L]$. Dann kann man eine Folge von konkaven, strikt positiven 2mal stetig differenzierbaren Funktionen [mm] $p_k$ [/mm] finden, so dass $p$ der [mm] $L^\infty$ [/mm] Grenzwert von [mm] $p_k$ [/mm] ist.


Hallo Leute,

ich bin mir nicht sicher, ob meine Idee funktioniert, daher dachte ich, ich frage hier mal nach. Ich wollte [mm] $p_k$ [/mm] wie folgt definieren und ich denke, dass jetzt alle wichtigen Eigenschaften erfüllt sind, also strikt positiv ist sie durch das [mm] $+\bruch{1}{k}$ [/mm] und konkav ist sie immernoch, denke ich, und differenzierbar ist [mm] $p_k$ [/mm] auch, also passt alles. Kann ich das so machen?

[mm] p_k(x) [/mm] = [mm] \bruch{1}{\varepsilon}\integral_{0}^{\varepsilon} {\overline{p}(x+t) dt + \bruch{1}{k}} [/mm]

wobei

[mm] \overline{p}(x) [/mm] = [mm] \bruch{1}{\varepsilon} \integral_{0}^{\varepsilon}{p(x+s) ds} [/mm]

Ich bedanke mich schonmal für die Hilfestellungen.

Viele Grüße,
ivanhoe

        
Bezug
konv. konkave Fkt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:46 So 30.11.2014
Autor: fred97


> Sei [mm]p[/mm] eine konkave, nicht negative Funktion auf [mm][0,L][/mm]. Dann
> kann man eine Folge von konkaven, strikt positiven 2mal
> stetig differenzierbaren Funktionen [mm]p_k[/mm] finden, so dass [mm]p[/mm]
> der [mm]L^\infty[/mm] Grenzwert von [mm]p_k[/mm] ist.
>  
> Hallo Leute,
>
> ich bin mir nicht sicher, ob meine Idee funktioniert, daher
> dachte ich, ich frage hier mal nach. Ich wollte [mm]p_k[/mm] wie
> folgt definieren und ich denke, dass jetzt alle wichtigen
> Eigenschaften erfüllt sind, also strikt positiv ist sie
> durch das [mm]+\bruch{1}{k}[/mm] und konkav ist sie immernoch, denke
> ich, und differenzierbar ist [mm]p_k[/mm] auch, also passt alles.
> Kann ich das so machen?
>  
> [mm]p_k(x)[/mm] = [mm]\bruch{1}{\varepsilon}\integral_{0}^{\varepsilon} {\overline{p}(x+t) dt + \bruch{1}{k}}[/mm]
>  
> wobei
>
> [mm]\overline{p}(x)[/mm] = [mm]\bruch{1}{\varepsilon} \integral_{0}^{\varepsilon}{p(x+s) ds}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)


>  
> Ich bedanke mich schonmal für die Hilfestellungen.


1.Deine Folge (p_k) konvergiert gleichmäßig gegen \bruch{1}{\varepsilon}\integral_{0}^{\varepsilon} {\overline{p}(x+t) dt

". Wenn p nicht stetig ist, so wird p_k i.a. nicht 2-mal stetig differenzierbar sein.

FRED



>  
> Viele Grüße,
>  ivanhoe


Bezug
                
Bezug
konv. konkave Fkt: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 16:34 So 30.11.2014
Autor: ivanhoe

Okay danke, ich habe mir schon gedacht, dass das nicht so leicht ist.

Gibt es denn einen anderen Ansatz, der funktionieren würde?



Bezug
                        
Bezug
konv. konkave Fkt: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 16:53 So 30.11.2014
Autor: ivanhoe

Würde es zB so funktionieren:

1. ich bilde eine Zerlegung [mm] $Z_k$ [/mm] in k Teile des Invervalls $[0,L]$

2. jetzt bilde ich eine Treppenfunktion [mm] $t_k$, [/mm] die so definiert sein soll, dass [mm] $t_k(x) [/mm] > p(x)$ für alle x.

3. ich glätte die Treppenfunktion so, dass die Sprungstellen stetig miteinander verbunden werden zu einer neuen stetigen Funktion [mm] $p_k$, [/mm] die immernoch die bedingung erfüllen muss, also [mm] $p_k(x) [/mm] > p(x)$.

4. wenn ich mich nicht irre, dann ist [mm] $p_k$ [/mm] stetig und differenzierbar, strikt größer als $p$, damit strikt positiv, konkav und konvergiert mit $k [mm] \to \infty$ [/mm] gegen $p$

Bezug
                                
Bezug
konv. konkave Fkt: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:20 Di 02.12.2014
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
                        
Bezug
konv. konkave Fkt: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:20 Di 02.12.2014
Autor: matux

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