konv. folgen kompl. zahlen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | 3. Zeigen sie: Jede Zahl z [mm] \in \IC [/mm] ist Nullstelle eines Polynoms vom Grad zwei über [mm] \IR [/mm] (d.h. eines Polynoms mit reellen Koeffizienten)
4. Zeigen sie: Ist [mm] (z_{n})_{n\in\IN} [/mm] eine konvergente Folge komplexer Zahlen, so ist [mm] (|z_{n}|)_{n\in\IN} [/mm] eine konvergente Folge reeller Zahlen. Gilt die Umkehrung? |
ich hab überhaupt keinen plan wie ich da ansetzten soll... des find ich alles so unlogisch, ich kann des auch mathematisch irgendiwe nicht hinschreiben, vielleicht kann mir ja von euch einer helfen!
mfg
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Hallo Schneckal,
ihr hattet doch bestimmt den Satz, dass, wenn [mm] $z\in\IC$ [/mm] eine Nullstelle ist, so ist auch [mm] $\overline{z}$ [/mm] eine Nullstelle.
Nimm dir also eine beliebige komplexe Zahl [mm] $z=a+b\cdot{}i$ [/mm] her und konstruiere daraus dein Polynom:
Da $z, [mm] \overline{z}$ [/mm] Nullstellen sein sollen, kannst du das als Linearfaktoren schreiben:
[mm] $(x-z)(x-\overline{z})=(x-(a+b\cdot{}i))(x-(a-b\cdot{}i))=...$
[/mm]
Das verrechne mal...
Bei der anderen Aufgabe kannst du die konvergente komplexe Folge [mm] $z_n$ [/mm] schreiben als [mm] $z_n=x_n+i\cdot{}y_n$, [/mm] also in die (konvergenten) Folgen von Real- und Imaginärteil aufteilen.
Hierbei gilt mit [mm] $\lim\limits_{n\to\infty}z_n=z\, (=x+i\cdot{}y)\Rightarrow \lim\limits_{n\to\infty}x_n=x$ [/mm] und [mm] $\lim\limits_{n\to\infty}y_n=y$
[/mm]
Die Folge des Realteils von [mm] $z_n$ [/mm] konvergiert also gegen den Realteil von $z$ und genauso für den Imaginärteil.
Damit sollte die erste Richtung einfach sein.
Für die Rückrichtung kannst du dir ein nicht allzu schwieriges Gegenbsp überlegen.
Probiere ein bisschen mit einfachen, rein imaginären Folgen rum... 
LG
schachuzipus
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