konv.Reihe pos. Zahlen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:21 Mo 13.06.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | | Sei [mm] \summe_{n=1}^{\infty} a_{n} [/mm] eine konvergente Reihe positiver Zahlen. Beweisen Sie, dass [mm] \summe_{n=1}^{\infty} a^{2}_{n} [/mm] und [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{\wurzel{a_{n}}}{n} [/mm] konvergent sind. |
Hallo zusammen^^
Den Beweis für die erste Reihe habe ich so gemacht:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} a^{2}_{n}=\summe_{n=1}^{\infty} a_{n}*\summe_{n=1}^{\infty} a_{n} [/mm] und [mm] \summe_{n=1}^{\infty} a_{n} [/mm] ist konvergent nach Voraussetzung.
Jetzt war ich mir nicht sicher, ob ich so weitermachen kann: Die Reihe hat nur positive Glieder, also habe ich angenommen, dass [mm] a_{n} [/mm] auch nur positive Glieder hat. Daraus folgt, dass [mm] a_{n}=|a_{n}|. [/mm] Das heißt die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty} a_{n} [/mm] ist absolut konvegent.
Das wiederum bedeutet, dass [mm] \summe_{n=1}^{\infty} a^{2}_{n} [/mm] konvergent ist.
Zur zweiten Reihe:
Die Voraussetzungen sind:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} a_{n} [/mm] ist konvergent, d.h. [mm] a_{n} [/mm] konvergiert gegen 0 und die Reihe hat positive Glieder.
Ich hab jetzt die Folge [mm] x_{n}=\bruch{1}{n}*\wurzel{a_{n}} [/mm] betrachtet.
[mm] \bruch{1}{n} [/mm] ist schonmal eine streng monoton fallende Nullfolge.
Jetzt könnte ich zeigen, dass [mm] s_{n}=\wurzel{a_{1}}+...+\wurzel{a_{n}} [/mm] beschränkt ist, denn dann folgt aus dem Abel-Dirichlet Kriterium, dass die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{\wurzel{a_{n}}}{n} [/mm] konvergent ist.
Da nun [mm] a_{n} [/mm] gegen Null konvergiert, muss [mm] s_{n} [/mm] beschränkt sein.
Damit folgt die Behauptung.
Ist das so in Ordnung bzw. ein richtiger Ansatz?
Vielen Dank
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:51 Mo 13.06.2011 | | Autor: | abakus |
> Sei [mm]\summe_{n=1}^{\infty} a_{n}[/mm] eine konvergente Reihe
> positiver Zahlen. Beweisen Sie, dass [mm]\summe_{n=1}^{\infty} a^{2}_{n}[/mm]
> und [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{\wurzel{a_{n}}}{n}[/mm]
> konvergent sind.
> Hallo zusammen^^
>
> Den Beweis für die erste Reihe habe ich so gemacht:
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} a^{2}_{n}=\summe_{n=1}^{\infty} a_{n}*\summe_{n=1}^{\infty} a_{n}[/mm]
Diese Zerlegung ist Unfug, die gilt ja nicht mal für [mm] \summe_{n=1}^{2}a^{2}_{n}.
[/mm]
Es ist [mm] a_1^2+a_2^2 [/mm] nicht das Gleiche wie [mm] (a_1+a_2)(a_1+a_2).
[/mm]
Gruß Abakus
> und [mm]\summe_{n=1}^{\infty} a_{n}[/mm] ist konvergent nach
> Voraussetzung.
> Jetzt war ich mir nicht sicher, ob ich so weitermachen
> kann: Die Reihe hat nur positive Glieder, also habe ich
> angenommen, dass [mm]a_{n}[/mm] auch nur positive Glieder hat.
> Daraus folgt, dass [mm]a_{n}=|a_{n}|.[/mm] Das heißt die Reihe
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} a_{n}[/mm] ist absolut konvegent.
> Das wiederum bedeutet, dass [mm]\summe_{n=1}^{\infty} a^{2}_{n}[/mm]
> konvergent ist.
>
>
> Zur zweiten Reihe:
> Die Voraussetzungen sind:
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} a_{n}[/mm] ist konvergent, d.h. [mm]a_{n}[/mm]
> konvergiert gegen 0 und die Reihe hat positive Glieder.
> Ich hab jetzt die Folge [mm]x_{n}=\bruch{1}{n}*\wurzel{a_{n}}[/mm]
> betrachtet.
> [mm]\bruch{1}{n}[/mm] ist schonmal eine streng monoton fallende
> Nullfolge.
> Jetzt könnte ich zeigen, dass
> [mm]s_{n}=\wurzel{a_{1}}+...+\wurzel{a_{n}}[/mm] beschränkt ist,
> denn dann folgt aus dem Abel-Dirichlet Kriterium, dass die
> Reihe [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{\wurzel{a_{n}}}{n}[/mm]
> konvergent ist.
> Da nun [mm]a_{n}[/mm] gegen Null konvergiert, muss [mm]s_{n}[/mm]
> beschränkt sein.
> Damit folgt die Behauptung.
>
> Ist das so in Ordnung bzw. ein richtiger Ansatz?
>
> Vielen Dank
> lg
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Moin Mandy,
> Sei [mm]\summe_{n=1}^{\infty} a_{n}[/mm] eine konvergente Reihe
> positiver Zahlen. Beweisen Sie, dass [mm]\summe_{n=1}^{\infty} a^{2}_{n}[/mm]
> und [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{\wurzel{a_{n}}}{n}[/mm]
> konvergent sind.
> Hallo zusammen^^
>
> Den Beweis für die erste Reihe habe ich so gemacht:
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} a^{2}_{n}\red{=}\summe_{n=1}^{\infty} a_{n}*\summe_{n=1}^{\infty} a_{n}[/mm] und [mm]\summe_{n=1}^{\infty} a_{n}[/mm] ist konvergent nach Voraussetzung.
Wie abakus schon anmerkte, stimmt dieses Gleichheitszeichen nicht.
Da aber [mm] \sum_{n=0}^\infty a_n= \sum_{n=0}^\infty|a_n| [/mm] absolut konvergent ist und alle Reihenglieder positiv sind, kannst du hingegen die Abschätzung
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} a^{2}_{n}\leq\summe_{n=1}^{\infty} a_{n}*\summe_{n=1}^{\infty} a_{n}=\summe_{n=1}^{\infty} a_{n}^2+\underbrace{\summe_{i\neq j} a_{i}a_j}_{\geq0}
[/mm]
verwenden. Damit folgt die Konvergenz von [mm] \summe_{n=1}^{\infty} a^{2}_{n} [/mm] tatsächlich leicht.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:32 Do 16.06.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
> Moin Mandy,
> > Sei [mm]\summe_{n=1}^{\infty} a_{n}[/mm] eine konvergente Reihe
> > positiver Zahlen. Beweisen Sie, dass [mm]\summe_{n=1}^{\infty} a^{2}_{n}[/mm]
> > und [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{\wurzel{a_{n}}}{n}[/mm]
> > konvergent sind.
> > Hallo zusammen^^
> >
> > Den Beweis für die erste Reihe habe ich so gemacht:
> >
> > [mm]\summe_{n=1}^{\infty} a^{2}_{n}\red{=}\summe_{n=1}^{\infty} a_{n}*\summe_{n=1}^{\infty} a_{n}[/mm]
> und [mm]\summe_{n=1}^{\infty} a_{n}[/mm] ist konvergent nach
> Voraussetzung.
> Wie abakus schon anmerkte, stimmt dieses
> Gleichheitszeichen nicht.
> Da aber [mm]\sum_{n=0}^\infty a_n= \sum_{n=0}^\infty|a_n|[/mm]
> absolut konvergent ist und alle Reihenglieder positiv sind,
> kannst du hingegen die Abschätzung
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} a^{2}_{n}\leq\summe_{n=1}^{\infty} a_{n}*\summe_{n=1}^{\infty} a_{n}=\summe_{n=1}^{\infty} a_{n}^2+\underbrace{\summe_{i\neq j} a_{i}a_j}_{\geq0}[/mm]
>
> verwenden. Damit folgt die Konvergenz von
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} a^{2}_{n}[/mm] tatsächlich leicht.
Achso,ok. Also ich weiß jetzt dass [mm] \summe_{n=1}^{\infty} a_{n} [/mm] absolut konvergent ist. Damit ist auch das Cauchy Produkt der Reihe mit sich selbst konvergent. Es folgt, dass [mm] \summe_{n=1}^{\infty} a_{n}^2+\underbrace{\summe_{i\neq j} a_{i}a_j}_{\geq0} [/mm] konvergent ist.
Wir hatten gesagt, dass die Summe zweier konvergenter Reihen wieder eine konvergente Reihe ist. Jetzt habe ich eine Summe und weiß dass sie konvergent ist,aber daraus folgt nicht, dass die einzelnen Summanden auch konvergent sind.
Wenn ich das richtig verstehe, ist aber der zweite Summand keine Reihe, sondern das sind einfach die fehlenden Summanden.
Wieso folgt jetzt die Konvergenz leicht?
lg
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Moin Mandy,
> > Da aber [mm]\sum_{n=0}^\infty a_n= \sum_{n=0}^\infty|a_n|[/mm]
> > absolut konvergent ist und alle Reihenglieder positiv sind,
> > kannst du hingegen die Abschätzung
> >
> > [mm]\summe_{n=1}^{\infty} a^{2}_{n}\leq\summe_{n=1}^{\infty} a_{n}*\summe_{n=1}^{\infty} a_{n}=\summe_{n=1}^{\infty} a_{n}^2+\underbrace{\summe_{i\neq j} a_{i}a_j}_{\geq0}[/mm]
>
> >
> > verwenden. Damit folgt die Konvergenz von
> > [mm]\summe_{n=1}^{\infty} a^{2}_{n}[/mm] tatsächlich leicht.
>
> Achso,ok. Also ich weiß jetzt dass [mm]\summe_{n=1}^{\infty} a_{n}[/mm]
> absolut konvergent ist. Damit ist auch das Cauchy Produkt
> der Reihe mit sich selbst konvergent. Es folgt, dass
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} a_{n}^2+\underbrace{\summe_{i\neq j} a_{i}a_j}_{\geq0}[/mm]
> konvergent ist.
> Wir hatten gesagt, dass die Summe zweier konvergenter
> Reihen wieder eine konvergente Reihe ist. Jetzt habe ich
> eine Summe und weiß dass sie konvergent ist,aber daraus
> folgt nicht, dass die einzelnen Summanden auch konvergent
> sind.
In diesem Fall schon, denn die Reihenglieder sind alle positiv.
> Wenn ich das richtig verstehe, ist aber der zweite Summand
> keine Reihe, sondern das sind einfach die fehlenden
> Summanden.
> Wieso folgt jetzt die Konvergenz leicht?
Es sei [mm] C:=\summe_{n=1}^{\infty} a_{n} [/mm] und [mm] K:=\summe_{i\neq j} a_{i}a_j\geq0
[/mm]
Dann folgt wie oben [mm] C^2=\summe_{n=1}^{\infty} a_{n}*\summe_{n=1}^{\infty} a_{n}=\summe_{n=1}^{\infty}a_{n}^2+\summe_{i\neq j} a_{i}a_j=\summe_{n=1}^{\infty}a_{n}^2+K, [/mm]
Also wegen [mm] K
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_{n}^2=C^2-K
[/mm]
LG
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> Sei [mm]\summe_{n=1}^{\infty} a_{n}[/mm] eine konvergente Reihe
> positiver Zahlen. Beweisen Sie, dass [mm]\summe_{n=1}^{\infty} a^{2}_{n}[/mm]
> und [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{\wurzel{a_{n}}}{n}[/mm]
> konvergent sind.
Hallo Mandy,
meine Idee für die erste Reihe wäre folgende:
Da [mm]\summe_{n=1}^{\infty} a_{n}[/mm] konvergent ist, müssen die Glieder [mm] a_n
[/mm]
eine Nullfolge bilden. Man kann also davon
ausgehen, dass ab einem gewissen Index alle
Glieder kleiner als 1 sind. Nun kann man die
Reihe [mm]\summe_{n=1}^{\infty} a_{n}^2[/mm] in zwei Summen aufteilen.
Die eine enthält die Summanden bis zu dem
betreffenden Index und die andere alle übrigen.
Die erste muss einen endlichen Wert haben
und die zweite lässt sich leicht durch die
Originalreihe abschätzen.
LG Al-Chw.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:18 Mo 13.06.2011 | | Autor: | sangham |
Hi Mandy,
> Zur zweiten Reihe:
> Die Voraussetzungen sind:
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} a_{n}[/mm] ist konvergent, d.h. [mm]a_{n}[/mm]
> konvergiert gegen 0 und die Reihe hat positive Glieder.
> Ich hab jetzt die Folge [mm]x_{n}=\bruch{1}{n}*\wurzel{a_{n}}[/mm]
> betrachtet.
> [mm]\bruch{1}{n}[/mm] ist schonmal eine streng monoton fallende
> Nullfolge.
> Jetzt könnte ich zeigen, dass
> [mm]s_{n}=\wurzel{a_{1}}+...+\wurzel{a_{n}}[/mm]
> beschränkt ist, denn dann folgt aus dem Abel-Dirichlet Kriterium, dass die
> Reihe [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{\wurzel{a_{n}}}{n}[/mm]
> konvergent ist.
> Da nun [mm]a_{n}[/mm] gegen Null konvergiert, muss [mm]s_{n}[/mm]
> beschränkt sein.
> Damit folgt die Behauptung.
Das ist so nicht korrekt. Ich nehme mal an, Du meinst mit [mm] s_n [/mm] ist beschränkt, dass es eine obere Schranke für alle n gibt. (Für jedes einzelne n ist die Summe sicherlich endlich, aber das hilft uns nicht.) Also ein Gegenbeispiel zu der obigen Argumentation:
[mm] a_{n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n^2}, s_{n}=1+\bruch{1}{2}+...+\bruch{1}{n}
[/mm]
ist nicht beschränkt (die harmonische Reihe divergiert.)
AUSSERDEM:
Du hast nicht gegeben, dass [mm] a_{n} [/mm] gegen Null konvergiert.
Da es aber (absolut) konvergiert, ist [mm] {a_{n}} [/mm] beschränkt und damit [mm] \bruch{a_{n}}{n} [/mm] eine Nullfolge.
EDIT na wie AL in der nächsten Mitteilung richtig bemerkt, ist es doch gegeben und die Aussage kann somit gestrichen werden.
Ich würde den ersten Ansatz für Reihe 1 auch hier versuchen, aber ich weiß nicht wie vielversprechend es ist, nur als Idee:
[mm] \summe \bruch{\wurzel{a_{n}}}{n} [/mm] * [mm] \summe\bruch{\wurzel{a_{n}}}{n} [/mm] = [mm] \summe\bruch{a_{n}}{n^2} [/mm] + [mm] \summe_{i\not=j}\bruch{\wurzel{a_{i}}\wurzel{a_{j}}}{ij}
[/mm]
< c + [mm] \summe_{i\not=j}\bruch{max(a_{j}, a_{j})}{ij}
[/mm]
und der rechte Summand dürfte endlich sein. Ähm, sorry muss jetzt los, aber du kannst vielleicht auch zeigen, dass die Partialsummen von [mm] \bruch{\wurzel{a_{n}}{n}} [/mm] beschränkt sind....
lg, sangham
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> AUSSERDEM:
> Du hast nicht gegeben, dass [mm]a_{n}[/mm] gegen Null konvergiert.
> Da es aber (absolut) konvergiert, ist [mm]{a_{n}}[/mm] beschränkt
> und damit [mm]\bruch{a_{n}}{n}[/mm] eine Nullfolge.
Hallo sangham,
dass [mm] a_n [/mm] gegen Null konvergieren muss, ist aber eine
ganz einfache Folgerung daraus, dass alle [mm] a_n [/mm] positiv
sein sollen und die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_n [/mm] konvergent ist.
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:38 Di 14.06.2011 | | Autor: | sangham |
> > AUSSERDEM:
> > Du hast nicht gegeben, dass [mm]a_{n}[/mm] gegen Null
> konvergiert.
> > Da es aber (absolut) konvergiert, ist [mm]{a_{n}}[/mm]
> beschränkt
> > und damit [mm]\bruch{a_{n}}{n}[/mm] eine Nullfolge.
>
>
> Hallo sangham,
>
> dass [mm]a_n[/mm] gegen Null konvergieren muss, ist aber eine
> ganz einfache Folgerung daraus, dass alle [mm]a_n[/mm] positiv
> sein sollen und die Reihe [mm]\summe_{n=1}^{\infty}a_n[/mm]
> konvergent ist.
>
> LG Al-Chw.
>
Ach, ich Idiot... ja da hast du natürlich recht! Man sollte eben immer ganz bei der Sache sein - danke. LG
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