konstante Funktion Beweis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:00 Mo 23.01.2006 | | Autor: | LenaFre |
| Aufgabe | Seien K>0 und [mm] \gamma [/mm] >0 fest gewählt und f: [a,b] [mm] \to \IR [/mm] mit a,b [mm] \in\IR, [/mm] a<b.
Es gelte [mm] |f(x)-f(y)|\le K*|x-y|^\gamma \forall [/mm] x,y [mm] \in[a,b].
[/mm]
Zeigen Sie: f ist konstant auf dem Intervall [a,b]. |
Hallo zusammen!
Die oben beschriebene Aufgabe liegt mir vor und ich weiß gar nicht wie ich da ran gehen soll.
Eine konstante Funktion ist doch z.B. f(x)=2 oder? Das heißt die 1. Ableitung einer konstanten Funktion ist immer 0? Aber wie ist da hier mit dem Interval?
Ich hoffe ihr könnt mir zahlreich weiterhelfen und ich bedanke mich schon mal herzlich!
LG Lena
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Hallo,
ja genau konstante Funktion haben eine Ableitung=0. Woran genau erinnert dich denn diese Struktur? Versuch mal über das Thema Lipschitz-Stetigkeit nachzudenken.
Dies ist eine sehr sinnvolle Übungsaufgabe. Man kann damit z.B. Dinge, wie:
Sei [mm] f:\IR\to\IR [/mm] und [mm] \forall x,y\in\IR |f(x)-f(y)|\le K*|x-y|^{2}. [/mm] Dann ist f konstant.
Viele Grüße
Daniel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:51 Mo 23.01.2006 | | Autor: | LenaFre |
Okay die Definition der Lieschitzen Stetigkeit habe ich nachgelesen. aber ich weiß nicht wie sie mir weiterhilft. Mir ist auch irgendwie die Aussage in der Aufgabenstellung nicht klar bzw. ich weiß nicht was ich mir genau vorstellen muss. Was sagt mir z. B. das [mm] \gamma>1 [/mm] ist? wie muss ich mir ie Funktion überhaupt vorstellen?
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Jetzt ist auf einmal [mm]\gamma>1[/mm]. Vorhin galt nur [mm]\gamma>0[/mm]. Das ist ein ziemlich lockerer Umgang mit entscheidenden Voraussetzungen.
Betrachte ein [mm]x \in [a,b][/mm] und wähle [mm]h \neq 0[/mm] so, daß auch [mm]x+h \in [a,b][/mm]. Dann gilt nach Voraussetzung des Satzes (statt [mm]x[/mm] schreibe [mm]x+h[/mm], statt [mm]y[/mm] schreibe [mm]x[/mm]):
[mm]\left| f(x+h) - f(x) \right| \leq K \left| h \right|^{\gamma}[/mm]
Und jetzt dividiere diese Ungleichung durch [mm]|h|[/mm] und führe den Grenzübergang [mm]h \to 0[/mm] durch. Beachte, daß wegen [mm]\gamma>1[/mm] der neue Exponent [mm]\gamma - 1 > 0[/mm] ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:31 Di 24.01.2006 | | Autor: | LenaFre |
Erstmal: Es stimmt in der Aufgabenstellung habe ich mich verschrieben es muss [mm] \gamma [/mm] >1 gelten.
Also wenn ich dich jetzt richtig verstanden habe wähle ich ein x [mm] \in[a,b] [/mm] und ein [mm] h\not=0 [/mm] sodass [mm] x+h\in[a,b].
[/mm]
Dann gilt nach der Voraussetzung aus der Aufgabenstellung:
| [mm] f(x+h)-f(x)|\le K*|h|^{\gamma}
[/mm]
Jetzt dividiere ich durch |h|, dann erhalte ich:
[mm] \bruch{ | f(x+h)-f(x)|}{|h|}\le K*|h|^{\gamma-1}
[/mm]
Jetzt betrachte ich den [mm] \limes_{h\rightarrow\0}.
[/mm]
Wenn ich jetzt richtig überlege: Wenn der lim 0 ist weiß ich, dass f konstant ist? Aber ich kann den lim nicht erkennen. Wie betrachte ich den lim einer Ungleichung überhaupt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:24 Di 24.01.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo Lena,
den Grenzwert kannst Du ganz einfach bestimmen:
Betrachten wir mal die rechte Seite.
Lässt du [mm]h \to 0[/mm] streben, so strebt auch [mm] K* |h |^{ \gamma-1} \to 0[/mm].
Ist Dir das soweit klar?
D.h. [mm] \limes_{h\rightarrow0} |\bruch{f(x+h)-f(x)}{h}| \le 0 [/mm].
Nun kann aber der Grenzwert einer nichtnegativen Funktion (Betrag!) nicht negativ sein!
D.h. [mm] \limes_{h\rightarrow0} |\bruch{f(x+h)-f(x)}{h}| = 0 [/mm].
Jetzt noch folgende Info:
Den Limes kannst Du in den Betrag hineinziehen:
[mm] \limes_{h\rightarrow0} |\bruch{f(x+h)-f(x)}{h}| = |\limes_{h\rightarrow0}\bruch{f(x+h)-f(x)}{h}| = 0 [/mm].
An was erinnert Dich der Ausdruck zwischen den Betragsstrichen? 
Damit ist die Aufgabe gelöst! Ansonsten frag bitte nochmal nach!
MFG,
Yuma
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:56 Di 24.01.2006 | | Autor: | LenaFre |
Okay das verstehe ich soweit. Jetzt hab ich gezeigt, dass f´(x)=0 und daraus folgt f ist konstant.
Vielen Dank für eure Hilfe!
Lena
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