komplexes integral berechnen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:30 Di 13.05.2008 | | Autor: | balisto |
| Aufgabe | Seien w, z, [mm] z_{0} \in \IC. [/mm] Es gilt: |w-z| = [mm] \bruch{r}{2} [/mm] für ein r [mm] \in \IR.
[/mm]
Berechne [mm] \integral_{|w-z_{0}|=r}^{ }{\bruch{1}{|w-z|} dw}. [/mm] |
Hallo!
Mir wurde gesagt, dass das Ergebnis des Integrals [mm] \bruch{2}{r} [/mm] * 2 [mm] *\pi*r [/mm] ist.
Meine Frage ist nun, wie ich darauf komme.
Die [mm] \bruch{2}{r} [/mm] erhalten ich sicher dadurch, dass |w-z| = [mm] \bruch{r}{2}, [/mm] oder?
Hmm... irgendwie ist mir nicht klar, wie ich so ein Integral berechne.
Wenn es mir jemand erklären würde, wäre ich sehr dankbar! :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:51 Mi 21.05.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Seien w, z, [mm]z_{0} \in \IC.[/mm] Es gilt: |w-z| = [mm]\bruch{r}{2}[/mm]
> für ein r [mm]\in \IR.[/mm]
> Berechne [mm]\integral_{|w-z_{0}|=r}^{ }{\bruch{1}{|w-z|} dw}.[/mm]
>
> Hallo!
>
> Mir wurde gesagt, dass das Ergebnis des Integrals
> [mm]\bruch{2}{r}[/mm] * 2 [mm]*\pi*r[/mm] ist.
> Meine Frage ist nun, wie ich darauf komme.
> Die [mm]\bruch{2}{r}[/mm] erhalten ich sicher dadurch, dass |w-z| =
> [mm]\bruch{r}{2},[/mm] oder?
Hmm, ich nehme an, hier ist das reelle Wegintegral gemeint. Denn dann ist, wie du sagst
[mm] \integral_{|w-z_{0}|=r}{\bruch{1}{|w-z|} dw} = \integral_{|w-z_{0}|=r} \bruch{2}{r} dw = \bruch{2}{r} \integral_{|w-z_{0}|=r} dw[/mm].
Das verbleibende Integral ist dann gerade die Länge der Kurve: Die ist ein Kreis vom Radius r, hat also Länge [mm] $2\pi [/mm] r$.
> Hmm... irgendwie ist mir nicht klar, wie ich so ein
> Integral berechne.
Wegintegrale kannst du ganz auch ganz stur berechnen:
1. Du wählst eine Prametrisierung des Weges. Der Kreis [mm] $|w-z_{0}|=r$ [/mm] kann zum Beispiel durch
[mm] w = \phi(t)= z_0 +r*e^{it}[/mm], [mm] 0\le t\le 2\pi[/mm]
beschreiben werden.
Dann setzt du ein:
[mm]\integral_{|w-z_{0}|=r}^{ }{\bruch{1}{|w-z|} dw = \integral_0^{2\pi} \bruch{1}{|\phi(t)-z|} |\phi'(t)| dt = \integral_0^{2\pi} \bruch{r}{|z_0-z+r*e^{it}|} dt[/mm].
Dieses Integral kannst du mit einiger Mühe ausrechnen.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:32 Mi 21.05.2008 | | Autor: | balisto |
Hallo!
Vielen Dank für die Antwort!
Ich glaube, langsam kann ich mich mit solchen integralen anfreunden :)
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