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Vielleicht kann mal jemand drüberschauen, ich bin mir ein wenig unsicher. Es geht um folgende Aufgabenstellung:
Für z [mm] \in \IC [/mm] sei das komplexe Polynom p bestimmt durch
p(z) := [mm] z^{4} [/mm] + (1+i)z³ + (10+i)z² + (12-2i)z - 24.
(1) Bestimmen Sie für jede reelle Zahl x jew. p(x), Rep(x) und Imp(x).
(2) Bestimmen Sie alle reellen Zahlen x mit Imp(x) = 0 und überprüfen Sie, ob für diese Zahlen auch Rep(x) = 0 gilt. Welche reellen Nullstellen erhalten Sie für p(z)?
(3) Bestimmen Sie alle komplexen Zahlen z mit 0 = z² + iz + 12.
(4) Geben Sie alle Nullstellen des Polynoms p an.
(5) Bestimmen Sie alle z aus C, für die die Beziehung
| [mm] \bruch{p(z)}{q(z)(z-1)} [/mm] | = | [mm] \bruch{p(z)e^{i Re z}}{(z²+z-2)(z-3i)} [/mm] | mit q(z) := z² + iz + 12 gilt.
Meine Lösungsansätze:
zu (1):
p(x) = [mm] x^{4} [/mm] + x³ + ix³ + 10x² + ix² + 12x - 2ix - 24
= [mm] x^{4} [/mm] + x³ + 10x² + 12x - 24 + i * (x³ + x² - 2x);
Rep(x) = [mm] x^{4} [/mm] + x³ + 10x² + 12x - 24;
Imp(x) = x³ + x² - 2x = x * (x² + x - 2)
zu (2):
Imp(x) = x * (x² + x - 2) = 0 | : x [mm] \Rightarrow x_{1} [/mm] = 0
[mm] \gdw [/mm] x² + x - 2 = 0
[mm] \gdw [/mm] x² + x = 2
[mm] \gdw [/mm] x² + x + [mm] (\bruch{1}{2})² [/mm] = 2 + [mm] (\bruch{1}{2})²
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] (x + [mm] \bruch{1}{2})² [/mm] = [mm] \bruch{9}{4}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] x + [mm] \bruch{1}{2} [/mm] = [mm] \pm \bruch{3}{2}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] x = - [mm] \bruch{1}{2} \pm \bruch{3}{2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow x_{2} [/mm] = -2; [mm] x_{3} [/mm] = 1;
für [mm] x_{1}=0 [/mm] : Rep(x=0 ) = -24 ( [mm] \not= [/mm] 0);
für [mm] x_{2}=-2: [/mm] Rep(x=-2) = 0;
für [mm] x_{3}=1 [/mm] : Rep(x=1 ) = 0;
[mm] \Rightarrow [/mm] Die reellen Nullstellen liegen bei [mm] x_{2}=-2 [/mm] und [mm] x_{3}=1, [/mm] weil dort gelichzeitig Rep(x)=0 und Imp(x)=0.
zu (3):
0 = z{2} + iz + 12
[mm] \gdw [/mm] z² + iz = -12
[mm] \gdw [/mm] z² + iz + [mm] (\bruch{i}{2})² [/mm] = -12 + [mm] (\bruch{i}{2})²
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] (z + [mm] \bruch{i}{2})² [/mm] = - 12 + [mm] \bruch{-1}{4} [/mm] = -12,25
[mm] \gdw [/mm] z + [mm] \bruch{i}{2} [/mm] = [mm] \pm \wurzel{-12,25}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] z = - [mm] \bruch{i}{2} \pm \wurzel{-12,25}
[/mm]
[mm] \Rightarrow z_{1} [/mm] = - [mm] \bruch{i}{2} [/mm] + [mm] \wurzel{-12,25}; z_{2} [/mm] = - [mm] \bruch{i}{2} [/mm] - [mm] \wurzel{-12,25};
[/mm]
zu (4):
p(z) := [mm] z^{4} [/mm] + (1+i)z³ + (10+i)z² + (12-2i)z - 24
= [mm] z^{4} [/mm] + z³ + iz³ + 10z² + iz² + 12z - 2iz - 24
Erraten einer Nullstelle.
Wähle z = i:
p(z=i) = [mm] i^{4} [/mm] + i³ + i*i³ + 10i² + i*i² + 12i - 2i*i - 24
= (-1)*(-1) + (-i) + (-1)*(-1) + 10*(-1) + (-i) + 12i - 2*(-1) - 24
= 1 - i + 1 - 10 - i + 12i + 2 - 24
= - 30 + 10i [mm] \Rightarrow [/mm] keine Nullstelle
aber z = 3i:
p(z=3i) = [mm] (3i)^{4} [/mm] + (3i)³ + i*(3i)³ + 10*(3i)² + i*(3i)² + 12*(3i) - 2i(3i) - 24
= [mm] \ldots [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] Nullstelle! [mm] z_{N1} [/mm] = 3i;
Polynomdivision:
[mm] z^{4} [/mm] + z³ + iz³ + 10z² + iz² + 12z - 2iz - 24 : (z - 3i) = [mm] \ldots
[/mm]
= z³ + (1+4i)*z² + (-2+4i)*z - 8i
= z³ + z² +4iz² -2z +4iz -8i
Nochmaliges Erraten einer Nullstelle.
Wähle z = -4i:
(-4i)³ + (-4)² + 4i*(-4i)² - 2(-4i) + 4i(-4i) - 8i = [mm] \ldots [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] Nullstelle! [mm] z_{N2} [/mm] = -4i;
Polynomdivision:
z³ + (1+4i)*z² + (-2+4i)*z - 8i : (z + 4i) = [mm] \ldots
[/mm]
= z² + z - 2
Lösen der quadrat. Gleichung.
z² + z - 2 = 0
[mm] \gdw [/mm] z² + z = 2
[mm] \gdw [/mm] z² + z + [mm] (\bruch{1}{2})² [/mm] = 2 + [mm] (\bruch{1}{2})²
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] (z + [mm] \bruch{1}{2})² [/mm] = 2,25
[mm] \gdw [/mm] z + [mm] \bruch{1}{2} [/mm] = [mm] \pm \wurzel{2,25} [/mm] = [mm] \pm [/mm] 1,5
[mm] \gdw [/mm] z = - 0,5 [mm] \pm [/mm] 1,5
[mm] \Rightarrow z_{N3}= [/mm] -2; [mm] z_{N4}=1;
[/mm]
zu (5): leider kein Lösungsansatz.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo rossbacher,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Vielleicht kann mal jemand drüberschauen, ich bin mir ein
> wenig unsicher. Es geht um folgende Aufgabenstellung:
>
> Für z [mm]\in \IC[/mm] sei das komplexe Polynom p bestimmt durch
> p(z) := [mm]z^{4}[/mm] + (1+i)z³ + (10+i)z² + (12-2i)z - 24.
>
> (1) Bestimmen Sie für jede reelle Zahl x jew. p(x), Rep(x)
> und Imp(x).
>
> (2) Bestimmen Sie alle reellen Zahlen x mit Imp(x) = 0 und
> überprüfen Sie, ob für diese Zahlen auch Rep(x) = 0 gilt.
> Welche reellen Nullstellen erhalten Sie für p(z)?
>
> (3) Bestimmen Sie alle komplexen Zahlen z mit 0 = z² + iz +
> 12.
>
> (4) Geben Sie alle Nullstellen des Polynoms p an.
>
> (5) Bestimmen Sie alle z aus C, für die die Beziehung
> | [mm]\bruch{p(z)}{q(z)(z-1)}[/mm] | = | [mm]\bruch{p(z)e^{i Re z}}{(z²+z-2)(z-3i)}[/mm]
> | mit q(z) := z² + iz + 12 gilt.
>
>
> Meine Lösungsansätze:
>
> zu (1):
> p(x) = [mm]x^{4}[/mm] + x³ + ix³ + 10x² + ix² + 12x - 2ix - 24
> = [mm]x^{4}[/mm] + x³ + 10x² + 12x - 24 + i * (x³ + x² -
> 2x);
> Rep(x) = [mm]x^{4}[/mm] + x³ + 10x² + 12x - 24;
> Imp(x) = x³ + x² - 2x = x * (x² + x - 2)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> zu (2):
> Imp(x) = x * (x² + x - 2) = 0 | : x [mm]\Rightarrow x_{1}[/mm]
> = 0
> [mm]\gdw[/mm] x² + x - 2 = 0
> [mm]\gdw[/mm] x² + x = 2
> [mm]\gdw[/mm] x² + x + [mm](\bruch{1}{2})²[/mm] = 2 +
> [mm](\bruch{1}{2})²[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] (x + [mm]\bruch{1}{2})²[/mm] = [mm]\bruch{9}{4}[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] x + [mm]\bruch{1}{2}[/mm] = [mm]\pm \bruch{3}{2}[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm] x = - [mm]\bruch{1}{2} \pm \bruch{3}{2}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow x_{2}[/mm] = -2; [mm]x_{3}[/mm] = 1;
> für [mm]x_{1}=0[/mm] : Rep(x=0 ) = -24 ( [mm]\not=[/mm] 0);
> für [mm]x_{2}=-2:[/mm] Rep(x=-2) = 0;
> für [mm]x_{3}=1[/mm] : Rep(x=1 ) = 0;
> [mm]\Rightarrow[/mm] Die reellen Nullstellen liegen bei [mm]x_{2}=-2[/mm]
> und [mm]x_{3}=1,[/mm] weil dort gelichzeitig Rep(x)=0 und Imp(x)=0.
>
> zu (3):
> 0 = z{2} + iz + 12
> [mm]\gdw[/mm] z² + iz = -12
> [mm]\gdw[/mm] z² + iz + [mm](\bruch{i}{2})²[/mm] = -12 + [mm](\bruch{i}{2})²[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] (z + [mm]\bruch{i}{2})²[/mm] = - 12 + [mm]\bruch{-1}{4}[/mm] =
> -12,25
> [mm]\gdw[/mm] z + [mm]\bruch{i}{2}[/mm] = [mm]\pm \wurzel{-12,25}[/mm]
> [mm]\gdw[/mm]
> z = - [mm]\bruch{i}{2} \pm \wurzel{-12,25}[/mm]
> [mm]\Rightarrow z_{1}[/mm]
> = - [mm]\bruch{i}{2}[/mm] + [mm]\wurzel{-12,25}; z_{2}[/mm] = - [mm]\bruch{i}{2}[/mm]
> - [mm]\wurzel{-12,25};[/mm]
>
> zu (4):
> p(z) := [mm]z^{4}[/mm] + (1+i)z³ + (10+i)z² + (12-2i)z - 24
> = [mm]z^{4}[/mm] + z³ + iz³ + 10z² + iz² + 12z - 2iz - 24
> Erraten einer Nullstelle.
> Wähle z = i:
> p(z=i) = [mm]i^{4}[/mm] + i³ + i*i³ + 10i² + i*i² + 12i - 2i*i -
> 24
> = (-1)*(-1) + (-i) + (-1)*(-1) + 10*(-1) + (-i)
> + 12i - 2*(-1) - 24
> = 1 - i + 1 - 10 - i + 12i + 2 - 24
> = - 30 + 10i [mm]\Rightarrow[/mm] keine Nullstelle
> aber z = 3i:
> p(z=3i) = [mm](3i)^{4}[/mm] + (3i)³ + i*(3i)³ + 10*(3i)² + i*(3i)²
> + 12*(3i) - 2i(3i) - 24
> = [mm]\ldots[/mm] = 0 [mm]\Rightarrow[/mm] Nullstelle! [mm]z_{N1}[/mm] =
> 3i;
> Polynomdivision:
> [mm]z^{4}[/mm] + z³ + iz³ + 10z² + iz² + 12z - 2iz - 24 : (z -
> 3i) = [mm]\ldots[/mm]
> = z³ + (1+4i)*z² + (-2+4i)*z - 8i
> = z³ + z² +4iz² -2z +4iz -8i
> Nochmaliges Erraten einer Nullstelle.
> Wähle z = -4i:
> (-4i)³ + (-4)² + 4i*(-4i)² - 2(-4i) + 4i(-4i) - 8i =
> [mm]\ldots[/mm] = 0 [mm]\Rightarrow[/mm] Nullstelle! [mm]z_{N2}[/mm] = -4i;
> Polynomdivision:
> z³ + (1+4i)*z² + (-2+4i)*z - 8i : (z + 4i) = [mm]\ldots[/mm]
> = z² + z - 2
> Lösen der quadrat. Gleichung.
> z² + z - 2 = 0
> [mm]\gdw[/mm] z² + z = 2
> [mm]\gdw[/mm] z² + z + [mm](\bruch{1}{2})²[/mm] = 2 + [mm](\bruch{1}{2})²[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] (z + [mm]\bruch{1}{2})²[/mm] = 2,25
> [mm]\gdw[/mm] z + [mm]\bruch{1}{2}[/mm] = [mm]\pm \wurzel{2,25}[/mm] = [mm]\pm[/mm] 1,5
> [mm]\gdw[/mm] z = - 0,5 [mm]\pm[/mm] 1,5
> [mm]\Rightarrow z_{N3}=[/mm] -2; [mm]z_{N4}=1;[/mm]
>
> zu (5): leider kein Lösungsansatz.
Um die Betragsstriche loszuwerden quadriere das ganze.
Vorher aber vereinfache die Ausdrücke links und rechts.
Gruß
MathePower
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Hallo.
Ich habe nun mit den Tipps die letzte Teilaufgabe noch einmal in Angriff genommen.
Zur Erinnerung noch einmal die Fragestellung:
(5) Bestimmen Sie alle z aus [mm] \IC, [/mm] für die die Beziehung
| [mm] \bruch{p(z)}{q(z)(z-1)} [/mm] | = | [mm] \bruch{p(z)e^{iRez}}{(z^{2} + z - 2)(z - 3i)} [/mm] | mit q(z) := [mm] z^{2} [/mm] + iz + 12 gilt.
Hier mein Lösungsansatz:
Vereinfachung linke Seite:
[mm] \bruch{p(z)}{q(z)(z-1)} [/mm] = [mm] \bruch{z^{4} + (1 + i)z^{3} + (10 + i)z^{2} + (12 - 2i)z - 24}{(z^{2} + iz + 12)(z - 1)}
[/mm]
= [mm] \bruch{z^{4} + \ldots }{z^{3} + iz^{2} + 12z - z^{2} - iz - 12} [/mm] = [mm] \bruch{z^{4} + \ldots }{z^{3} + (-1 + i)z^{2} + (12 - i)z - 12}
[/mm]
Polynomdivision:
[mm] (z^{4} [/mm] + (1 + [mm] i)z^{3} [/mm] + (10 + [mm] i)z^{2} [/mm] + (12 - 2i)z - 24)
: [mm] (z^{3} [/mm] + (-1 + [mm] i)z^{2} [/mm] + (12 - i)z - 12)
= [mm] \ldots [/mm] = z + 2
Vereinfachung rechte Seite (ohne e-Funktion):
[mm] \bruch{p(z)}{(z^{2} + z - 2)(z - 3i)} [/mm] = [mm] \bruch{z^{4} + \ldots }{z^{3} + z^{2} - 2z - 3iz^{2} - 3iz + 6i}
[/mm]
= [mm] \bruch{z^{4} + \ldots }{z^{3} + (1 - 3i)z^{2} + (-2 - 3i)z + 6i}
[/mm]
Polynomdivision:
[mm] (z^{4} [/mm] + (1 + [mm] i)z^{3} [/mm] + (10 + [mm] i)z^{2} [/mm] + (12 - 2i)z - 24)
: [mm] (z^{3} [/mm] + (1 - [mm] 3i)z^{2} [/mm] + (-2 - 3i)z + 6i)
= [mm] \ldots [/mm] = z + 4i
führt insgesamt auf:
| z + 2 | = | (z + 4i) [mm] e^{iRez} [/mm] |
nächster Schritt: quadrieren
[mm] \gdw [/mm] (z + [mm] 2)^{2} [/mm] = (z + [mm] 4i)^{2} (e^{iRez})^{2}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] (z + [mm] 2)^{2} [/mm] = (z + [mm] 4i)^{2} e^{i2Rez}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{(z + 2)^{2}}{(z + 4i)^{2}} [/mm] = [mm] e^{i2Rez} \gdw [/mm] ? ? ?
Wie geht es jetzt weiter? Mir fällt nur noch Euler ein(?)
[mm] \gdw \bruch{(z + 2)^{2}}{(z + 4i)^{2}} [/mm] = cos 2Rez + i * sin 2Rez
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:15 Mo 07.11.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Nehmen wir mal an es wäre bis hierhin:
> [mm]| z + 2 | = | (z + 4i) e^{iRez} |[/mm]
alles richtig, was ich aber nicht überprüft habe.
Dann solltest du beachten, dass [mm] $|e^{iRez}|=1$ [/mm] gilt!
Du musst dann also nur noch die Gleichung
$|z+2| = |z+4i|$
lösen...
Und Beträge kann man im Komplexen nicht dadurch quadrieren, dass man sie weglässt und dann quadriert!
Es gilt:
[mm] $|x+iy|^2= x^2+y^2 \ne (x+iy)^2$...
[/mm]
Liebe Grüße
Stefan
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