komplexes Matrizenbeispiel < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 00:04 Mo 11.07.2005 | | Autor: | katjamaus |
Hallo.
Gegeben ist eine Matrix A [mm] \in [/mm] \ IR^(nxn) die, die nichtreellen Eigenwerte [mm] \lambda [/mm] und [mm] \overline{\lambda} [/mm] hat.
Man gebe eine Matrix B [mm] \in \IR^{2x2} [/mm] an mit B^(-1)AB = [mm] \pmat{ Re\lambda & -Im\lambda \\ Im\lambda & Re\lambda }.
[/mm]
Hat jemand ne Idee, wie ich da loslegen könnte. Bei mir scheiters im Moment schon am Ansatz.
Danke.
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> Hallo.
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> Gegeben ist eine Matrix A [mm]\in[/mm] \ IR^(nxn) die, die
> nichtreellen Eigenwerte [mm]\lambda[/mm] und [mm]\overline{\lambda}[/mm]
> hat.
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> Man gebe eine Matrix B [mm]\in \IR^{2x2}[/mm] an mit B^(-1)AB =
> [mm]\pmat{ Re\lambda & -Im\lambda \\ Im\lambda & Re\lambda }.[/mm]
>
> Hat jemand ne Idee, wie ich da loslegen könnte. Bei mir
> scheiters im Moment schon am Ansatz.
Hallo,
wenn's so ist, wie es ist, ist sind jedenfalls für A:= [mm] \pmat{ a & b \\ c & d } [/mm]
a,b,c,d alle ungleich Null. Außerdem gibt es eine komplexe Matrix C mit [mm] C^{-1}AC= \pmat{ \lambda & 0 \\ 0 & \overline{ \lambda} }.
[/mm]
Ob's nützt, weiß ich allerdings nicht.
Gruß v. Angela
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Soweit habe ich den Ansatz auch hinbekommen, aber irgendein Satz fehlt hier noch um auf die Lösung zu stoßen und ich hab keine Ahnung welcher.
Danke aber schonmal für den Tipp.
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> Soweit habe ich den Ansatz auch hinbekommen, aber irgendein
> Satz fehlt hier noch um auf die Lösung zu stoßen und ich
> hab keine Ahnung welcher.
Hallo,
leider fällt mir keine Lösung ein, was mich allmählich wirklich ärgert...
An Sätzen hätte ich noch Hamilton - Cayley anzubieten, da erfährt man was über [mm] A^2.
[/mm]
Dann ist es ja so, daß diese Matrix mit Re und Im ja so eine Art Drehung beschreibt. Drehstreckung würd ich das Ding mal nennen. Man hat da | [mm] \lambda|\pmat{ cos \alpha & -sin \alpha \\ sin \alpha & cos \alpha }.
[/mm]
Vielleicht kannst Du was draus machen.
Gruß von Angela
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:03 Mi 13.07.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hallöchen ihr beiden,
Kann es sein, dass ich hier etwas Einfaches sehe, was ihr übersehen habt, oder ist mein folgender Ansatz falsch?
Also man kann die Eigenwerte der Matrix $ X:= [mm] \pmat{ Re\lambda & -Im\lambda \\ Im\lambda & Re\lambda } [/mm] $ leicht über das charackteristische Polynom bestimmen, wenn man bedenkt, dass :
$ [mm] x^2-2*(Re\lambda [/mm] ) + [mm] (Re\lambda )^2 [/mm] + [mm] (Im\lambda )^2 =(x-(Re\lambda +Im\lambda [/mm] *i [mm] ))*(x-(Re\lambda -Im\lambda [/mm] *i )) $
(Diese Faktorisation hat mir Derive verraten)
also als Nullstellen gerade [mm] $\lambda [/mm] $ und [mm] $\overline{\lambda }$
[/mm]
Das heißt es gibt Matrizen, so dass $ [mm] C^{-1}AC= \pmat{ \lambda & 0 \\ 0 & \overline{ \lambda} } [/mm] = [mm] D^{-1}XD [/mm] $
also gilt für $ [mm] B=C*D^{-1} [/mm] $, dass : $ [mm] B^{-1}*A*B [/mm] = X $
oder übersehe ich jetzt etwas?
viele Grüße
DaMenge
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:01 Mi 13.07.2005 | | Autor: | statler |
Und woher weiß ich, daß B reell ist?
Hinweis: Das Ganze fällt unter das Thema "reelle Jordansche Normalform", Google findet z. B. ein Skript von Knauf Uni Erlangen über Lineare Algebra.
Eine schicke Gymnasiums-Lösung weiß ich im Moment auch nicht, vielleicht später...
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> Und woher weiß ich, daß B reell ist?
Hallo,
keine Ahnung, ob man's einfach so sehen kann.
Ich würd's jetzt völlig unschick nachrechnen. DaMenges Matrizen C und D kriegt man recht leicht, und für die Frage, ob [mm] B=CD^{-1} [/mm] reell ist, müßte man sicher noch die Informationen, die man über A hat (charakteristisches Polynom, Koeffizientenvergleich) verwerten.
Gruß v. Angela
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> Hallöchen ihr beiden,
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> Kann es sein, dass ich hier etwas Einfaches sehe, was ihr
> übersehen habt.
Hallo,
ich glaube so ist es.
Es war zu einfach für uns!!!!!!!!!!!! Danke!
Dürfte unter die Kategorie "den Wald vor lauter Bäumen nicht sehen" fallen.
Natürlich muß man, wie stadler richtig bemerkt, noch untersuchen, ob das Ding reell ist. Aber das sind dann kleine Rechenübungen.
Gruß v. Angela
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