komplexes Kurvenintegral < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:58 Sa 23.02.2013 | | Autor: | Lemma_01 |
| Aufgabe | | Berechnen Sie das komplexe Kurvenintegral [mm] \oint_{\partial G}{(\bar{z}^2+z) dz} [/mm] über dem Rand des Gebietes [mm] \(G\), [/mm] wenn [mm] \(G\) [/mm] der Teil der Kreisfläche um den Mittelpunkt [mm] \(-i\) [/mm] vom Radius [mm] \(2\) [/mm] ist, der in der Halbebene [mm] \{z \in \mathbb{C}:Im(z) < -1\} [/mm] liegt. |
Hallo, ich würde gerne wissen, ob meine Parametrisierungen soweit korrekt sind? Es ist klar, dass zwei Wegstücke integriert werden müssen. Das eine ist ein Halbkreis und das andere ist eine Gerade parallel zur reellen Achse. Außerdem kann man wegen Holomorphie den Polynomanteil [mm] \(z\) [/mm] vernachlässigen kann, so dass quasi nur das Integral [mm] \oint_{\partial G}{\bar{z}^2 dz} [/mm] zu lösen gilt.
[mm] \(C_{1}\): \(z_{1}\)\,=\,\(-i\) \(+\) \(2\) \(e^{i \varphi}\), \,\,\, \(-\frac{\pi}{2}<\varphi\) \(< \frac{\pi}{2}\)
[/mm]
[mm] \(C_{2}\): \(z_{2}\)\,=\,\(2\)\cdot\((1-2t)\), \,\,\, \(0
Kann das jemand vllt. soweit bestätigen, falls alles korrekt sein sollte?
Vielen Dank voraus!
Grüße Lemma_01
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo Lemma_01,
> Berechnen Sie das komplexe Kurvenintegral [mm]\oint_{\partial G}{(\bar{z}^2+z) dz}[/mm]
> über dem Rand des Gebietes [mm]\(G\),[/mm] wenn [mm]\(G\)[/mm] der Teil der
> Kreisfläche um den Mittelpunkt [mm]\(-i\)[/mm] vom Radius [mm]\(2\)[/mm]
> ist, der in der Halbebene [mm]\{z \in \mathbb{C}:Im(z) < -1\}[/mm]
> liegt.
> Hallo, ich würde gerne wissen, ob meine
> Parametrisierungen soweit korrekt sind? Es ist klar, dass
> zwei Wegstücke integriert werden müssen. Das eine ist ein
> Halbkreis und das andere ist eine Gerade parallel zur
> reellen Achse. Außerdem kann man wegen Holomorphie den
> Polynomanteil [mm]\(z\)[/mm] vernachlässigen kann, so dass quasi
> nur das Integral [mm]\oint_{\partial G}{\bar{z}^2 dz}[/mm] zu lösen
> gilt.
>
> [mm]\(C_{1}\): \(z_{1}\)\,=\,\(-i\) \(+\) \(2\) \(e^{i \varphi}\), \,\,\, \(-\frac{\pi}{2}<\varphi\) \(< \frac{\pi}{2}\)[/mm]
>
Der Parameterbereich stimmt nicht.
> [mm]\(C_{2}\): \(z_{2}\)\,=\,\(2\)\cdot\((1-2t)\), \,\,\, \(0
>
Dieser Weg muss auch eine imganinäre Komponente haben.
> Kann das jemand vllt. soweit bestätigen, falls alles
> korrekt sein sollte?
> Vielen Dank voraus!
> Grüße Lemma_01
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:34 Sa 23.02.2013 | | Autor: | Lemma_01 |
Hi, danke erstmal für die Antwort. Aber die Gerade verläuft doch parallel zur rellen Achse und zwar vom Punkt [mm] \((2,-i)\) \to \((-2,-i)\). [/mm] Der Parameter [mm] \(t\) [/mm] muss doch reell sein. Da kann ich doch keine imaginäre Grenzen dafür nehmen! Oder verstehe ich hier etwas verkehrt?
Grüße
Lemma_01
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:42 So 24.02.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
deine Parametrisierung geht doch für kein t durch (2,i) oder (o,i) usw
also c: z=-i+t, [mm] t\in[-2,2] [/mm] oder -i+2t [mm] -1\let\le1
[/mm]
oder -i-2+4t 0<t<1
du solltest immer an einem willkürlichen Punkt der Kurve nachprüfen, ob er draufliegt.
auch beim Halbkreis hast du die falsche Hälfte genommen
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:42 So 24.02.2013 | | Autor: | Lemma_01 |
Hi, danke erstmal. Ich habe mir gedacht, das Gebiet an sich liegt im III. und IV. Quadranten und ich bin beim Halbkreis angefangen gegen den Uhrzeigersinn vom Punkt [mm] \((-2,-i)\) \to \((2,-i)\) [/mm] und dann als parallele Gerade zur x-Achse vom Punkt [mm] \((2,-i)\) \to \((-2,-i)\). [/mm] Außerdem, beim Parametrisieren einer Gerade gilt doch:
[mm] \(g(t)\)=\(z_a\) [/mm] + [mm] \(t\)\cdot\((z_e-z_a)\), [/mm] wobei [mm] \(z_a\): [/mm] Anfangspunkt und [mm] \(z_e\): [/mm] Endpunkt der Geraden bezeichnen. Wenn ich diese Formel verwende, dann komme ich auf die Gleichung was ich schon angegeben habe. Ich weiss das Problem ist aber, dass z.B. für [mm] \(t=0\), \(-i\) [/mm] rauskommen müsste, tut es aber nicht. Für deine Beispielgerade mit [mm] \(g(t)\)=\(-i\)\(+\)\(t\) [/mm] haut das hin. Das würde aber doch bedeuten, dass du als Anfangspunkt [mm] \(-i\) [/mm] genommen hättest, was aber den Verlauf der Geraden widerspricht. Was den Halbkreis angeht, meinst du vllt., dass die Grenze eher von [mm] \([-\pi,0]\) [/mm] verlaufen müsste, nur dann hat man aber das Problem, dass für z.B. [mm] \(\varphi=0^\circ\) [/mm] der Wert [mm] \(-2-i\) [/mm] nicht herauskommt!
Oder habe ich hier irgendwo einen Denkfehler, den ich übersehe?
Übrigens ich denke die Parametrisierung für g müsste doch wie folgt lauten: g(t) = 2 - i - 4 t , 0 < t < 1. Kann das sein?
Grüße
Lemma_01
|
|
|
| |
|
Hallo Lemma_01,
> Hi, danke erstmal. Ich habe mir gedacht, das Gebiet an sich
> liegt im III. und IV. Quadranten und ich bin beim Halbkreis
> angefangen gegen den Uhrzeigersinn vom Punkt [mm]\((-2,-i)\) \to \((2,-i)\)[/mm]
> und dann als parallele Gerade zur x-Achse vom Punkt
> [mm]\((2,-i)\) \to \((-2,-i)\).[/mm] Außerdem, beim Parametrisieren
> einer Gerade gilt doch:
> [mm]\(g(t)\)=\(z_a\)[/mm] + [mm]\(t\)\cdot\((z_e-z_a)\),[/mm] wobei [mm]\(z_a\):[/mm]
> Anfangspunkt und [mm]\(z_e\):[/mm] Endpunkt der Geraden bezeichnen.
> Wenn ich diese Formel verwende, dann komme ich auf die
> Gleichung was ich schon angegeben habe. Ich weiss das
> Problem ist aber, dass z.B. für [mm]\(t=0\), \(-i\)[/mm] rauskommen
> müsste, tut es aber nicht. Für deine Beispielgerade mit
> [mm]\(g(t)\)=\(-i\)\(+\)\(t\)[/mm] haut das hin. Das würde aber
> doch bedeuten, dass du als Anfangspunkt [mm]\(-i\)[/mm] genommen
> hättest, was aber den Verlauf der Geraden widerspricht.
> Was den Halbkreis angeht, meinst du vllt., dass die Grenze
> eher von [mm]\([-\pi,0]\)[/mm] verlaufen müsste, nur dann hat man
> aber das Problem, dass für z.B. [mm]\(\varphi=0^\circ\)[/mm] der
> Wert [mm]\(-2-i\)[/mm] nicht herauskommt!
> Oder habe ich hier irgendwo einen Denkfehler, den ich
> übersehe?
Nimm doch als Orientierungshilfe den mathematisch positiven Drehsinn.
> Übrigens ich denke die Parametrisierung für g müsste
> doch wie folgt lauten: g(t) = 2 - i - 4 t , 0 < t < 1. Kann
> das sein?
Ja,. das ist auch so.
> Grüße
> Lemma_01
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:26 So 24.02.2013 | | Autor: | Lemma_01 |
Hallo, ich gehe ja vom math. positiven Drehsinn aus beim Kurvenstück als Halbkreis. Und zwar beginne ich beim Punkt [mm] \((-2,-i)\) [/mm] und drehe gegen den Uhrzeigersinn zum Punkt [mm] \((2,-i)\). [/mm] Das bedeutet somit, dass bei [mm] \(\varphi=0^\circ\) [/mm] der Punkt $(-2,-i)$ herauskommen müsste, tut es aber nicht. Übersehe ich hier vllt. irgendetwas?
Grüße Lemma_01
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:43 So 24.02.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
dein Kreis läuft von [mm] \pi [/mm] bis 0 oder wenn du bei 0 anfangen willst musst du [mm] e^{i(\phi-pi} [/mm] schreiben. deine Gerade von links nach rechts mit t= 0 bist 1 durchlaufen ist dann 2-i-4t
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:59 So 24.02.2013 | | Autor: | Lemma_01 |
Ah ok! Ich fange quasi beim großen Winkel an [mm] $(\pi)$ [/mm] und gehe zu $0$, also von links nach rechts. Vielen Dank an euch beiden, war sehr hilfreich!
Viele Grüße
Lemma_01
|
|
|
|
