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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:41 Mi 07.12.2005 | | Autor: | LenaFre |
Hallo Zusammen!
Folgende Aufgabe: Schreiben Sie den Ausdruck in der Form x+iy mit [mm] x,y\in\IR
[/mm]
[mm] (1+i)^{n}+(1-i)^{n}
[/mm]
Ich weiß, dass für alle nnur eine reelle Zahl rauskommt. Für n=1 z.B. (2+0i) für n=2 (0+0i); für n=3 (-4+0i), für n=4 (-8+0i)
Aber wie komme ich allgemein auf das Ergebins?
Ich hoffe ihr könnt mir helfen!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:30 Mi 07.12.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Lena!
Wende auf beide Terme den binomischen Lehrsatz an:
[mm] $(1+i)^n [/mm] \ = \ [mm] \summe_{k=0}^{n}\vektor{n\\k}*1^{n-k}*i^k [/mm] \ = \ [mm] \summe_{k=0}^{n}\vektor{n\\k}*1*i^k [/mm] \ = \ [mm] \summe_{k=0}^{n}\vektor{n\\k}*i^k$
[/mm]
$= \ [mm] \vektor{n\\0}*i^0+\vektor{n\\1}*i^1+\vektor{n\\2}*i^2+\vektor{n\\3}*i^3+...+\vektor{n\\n-1}*i^{n-1}+\vektor{n\\n}*i^n$
[/mm]
Ebenso der 2. Term:
[mm] $(1-i)^n [/mm] \ = \ [mm] \summe_{k=0}^{n}\vektor{n\\k}*1^{n-k}*(-i)^k [/mm] \ = \ [mm] \summe_{k=0}^{n}\vektor{n\\k}*1*(-1)^k*i^k [/mm] \ = \ [mm] \summe_{k=0}^{n}\vektor{n\\k}*(-1)^k*i^k$
[/mm]
$= \ [mm] \vektor{n\\0}*i^0-\vektor{n\\1}*i^1+\vektor{n\\2}*i^2-\vektor{n\\3}*i^3+...+(-1)^{n-1}*\vektor{n\\n-1}*i^{n-1}+(-1)^n*\vektor{n\\n}*i^n$
[/mm]
Und nun addiere diese beiden Gleichungen und untersuche, was sich alles eliminiert. Welche Potenzen von $i_$ verbleiben dann noch?
Was kann man dann über diese Potenzen sagen? Reell oder komplex?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:22 Mi 07.12.2005 | | Autor: | LenaFre |
okay; dann sehe ich, dass sich alle Summanden, bei denen i eine ungerade Potenz hat elleminieren.
Es bleiben nur Summanden mit einer geraden Potenz von i stehen. Und da [mm] i^{2} [/mm] =-1 sind die Summanden reell, folglich hat die summe auch ein reelles ergebnis.
es ergibt sich für [mm] (1+i)^{n}+(1-i)^{n}=2* \summe_{k=2a}^{n}\vektor{n\\ k}*i^{k} [/mm] mit [mm] a\in \IN
[/mm]
Aber ich komme leider noch nict darauf, wie ich diese Summe dann in x+iy scgreibweise darstelle?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:01 Do 08.12.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
> okay; dann sehe ich, dass sich alle Summanden, bei denen i
> eine ungerade Potenz hat elleminieren.
> Es bleiben nur Summanden mit einer geraden Potenz von i
> stehen. Und da [mm]i^{2}[/mm] =-1 sind die Summanden reell, folglich
> hat die summe auch ein reelles ergebnis.
> es ergibt sich für [mm](1+i)^{n}+(1-i)^{n}=2* \summe_{k=2a}^{n}\vektor{n\\ k}*i^{k}[/mm]
> mit [mm]a\in \IN[/mm]
so kann man die Summe nicht schreiben, denn nach 2a kommt für k doch 2a+1 ! Summationsindices werden immer um 1 erhöht!
also [mm] x=\summe_{k=1}^{n}\vektor{n\\ 2k}*(-1)^{k}[/mm] [/mm]
y=0 z=x+iy
Gruss leduart
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