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[Dateianhang nicht öffentlich]
charak. Polynom:
[mm] -\lambda^3+p=-(\lambda-p^{\frac{1}{3}})[(\lambda-(-\frac{1}{2}p^{\frac{1}{3}}))^2+(\frac{1}{2}\sqrt{3}p^{\frac{1}{3}})^2]
[/mm]
[mm] \lambda_1=p^{\frac{1}{3}}
[/mm]
[mm] \lambda_2=-\frac{1}{2}p^{\frac{1}{3}}+i\cdot\frac{1}{2}\sqrt{3}p^{\frac{1}{3}}
[/mm]
[mm] \lambda_3=-\frac{1}{2}p^{\frac{1}{3}}-i\cdot\frac{1}{2}\sqrt{3}p^{\frac{1}{3}}
[/mm]
Die komplexen JNF hab ich schon mal raus:
Für p=0: [mm] \pmat{0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0}
[/mm]
Für [mm] p\not=0: \pmat{\lambda_1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_2 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_3 }
[/mm]
Für p=0 fallen alle Eigenwerte zu [mm] \lambda=0 [/mm] zusammen mit der geo. Vfh. 1, sonst sind sie alle unterschiedlich, wenn ich das richtig sehe.
Mein Problem ist nun, die reelle JNF rauszukriegen. Ich hab mir bei Wikipedia mal die Anleitung durchgelesen und muss sagen, dass die echt aufwendig ist. Habt ihr Tipps, wie ich es leichter anstelle?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo TommyAngelo,
> [Dateianhang nicht öffentlich]
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> charak. Polynom:
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> [mm]-\lambda^3+p=-(\lambda-p^{\frac{1}{3}})[(\lambda-(-\frac{1}{2}p^{\frac{1}{3}}))^2+(\frac{1}{2}\sqrt{3}p^{\frac{1}{3}})^2][/mm]
>
> [mm]\lambda_1=p^{\frac{1}{3}}[/mm]
>
> [mm]\lambda_2=-\frac{1}{2}p^{\frac{1}{3}}+i\cdot\frac{1}{2}\sqrt{3}p^{\frac{1}{3}}[/mm]
>
> [mm]\lambda_3=-\frac{1}{2}p^{\frac{1}{3}}-i\cdot\frac{1}{2}\sqrt{3}p^{\frac{1}{3}}[/mm]
>
> Die komplexen JNF hab ich schon mal raus:
>
> Für p=0: [mm]\pmat{0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0}[/mm]
>
>
> Für [mm]p\not=0: \pmat{\lambda_1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_2 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_3 }[/mm]
>
> Für p=0 fallen alle Eigenwerte zu [mm]\lambda=0[/mm] zusammen mit
> der geo. Vfh. 1, sonst sind sie alle unterschiedlich, wenn
> ich das richtig sehe.
Das siehst Du richtig.
>
> Mein Problem ist nun, die reelle JNF rauszukriegen. Ich hab
> mir bei Wikipedia mal die Anleitung durchgelesen und muss
> sagen, dass die echt aufwendig ist. Habt ihr Tipps, wie ich
> es leichter anstelle?
In diesem Artikel wurde eine mögliche Art besprochen,
wie man von einer komplexen JNF zu einer reellen JNF kommt.
Gruß
MathePower
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also dann z.B.:
[mm] \pmat{ p^{\frac{1}{3}} & 0 & 0 \\ 0 & -\frac{1}{2}p^{\frac{1}{3}} & \frac{1}{2}\sqrt{3}p^{\frac{1}{3}} \\ 0 & -\frac{1}{2}\sqrt{3}p^{\frac{1}{3}} & -\frac{1}{2}p^{\frac{1}{3}}}
[/mm]
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Hallo TommyAngelo,
> also dann z.B.:
>
> [mm]\pmat{ p^{\frac{1}{3}} & 0 & 0 \\ 0 & -\frac{1}{2}p^{\frac{1}{3}} & \frac{1}{2}\sqrt{3}p^{\frac{1}{3}} \\ 0 & -\frac{1}{2}\sqrt{3}p^{\frac{1}{3}} & -\frac{1}{2}p^{\frac{1}{3}}}[/mm]
>
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß
MathePower
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Sehr schön, jetzt noch das Minimalpolynom, wo es meiner Meinung nach kein System gibt, nur, dass es normiert sein muss.
[mm] \lambda^3-p
[/mm]
Stimmt das?
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Hallo TommyAngelo,
> Sehr schön, jetzt noch das Minimalpolynom, wo es meiner
> Meinung nach kein System gibt, nur, dass es normiert sein
> muss.
Nun, das Mimimalpolynom ist ein Teiler des charakteristischen Polynoms.
Genauer ist es das Polynom kleinsten Grades,
das für die Matrix A, die Nullmatrix ergibt.
Ist m das Minimalpolynom, so muß [mm]m\left(A\right)=0[/mm] gelten.
>
> [mm]\lambda^3-p[/mm]
>
> Stimmt das?
Ja.
Gruß
MathePower
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Danke für die schnelle Hilfe!
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