komplexe ortskurve < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Ich habe die komplexe Ortskurve [mm] z(\omega)=\bruch{1}{\omega+j}, [/mm] 0 [mm] \le \omega [/mm] < [mm] \infty [/mm] gegeben und möchte diese darstellen.
Zuerst soll der Realteil und der Imaginärteil bestimmt werden werden. |
Meine frage ist nun wie ich den Real und imaginäranteil dieser komplexen ortskurve darstellen kann.
[mm] z(\omega)=\bruch{1}{\omega+j}
[/mm]
Wenn ich einfach sage:
[mm] z(\omega)=\bruch{1}{\omega+j} [/mm] = [mm] z(\omega)=\bruch{1}{\omega}+\bruch{1}{j} [/mm]
habe ich nun schon mit
[mm] z(\omega)=\bruch{1}{\omega} [/mm] <- Realanteil
[mm] z(\omega)=\bruch{1}{j} [/mm] <- Imaginäranteil
oder muss ich dort mit konjungiert komplex erweiern um zu einem ergebniss zu kommen ?
vielen dank schonmal für die hilfe
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Hallo kriegerGT,
> Ich habe die komplexe Ortskurve
> [mm]z(\omega)=\bruch{1}{\omega+j},[/mm] 0 [mm]\le \omega[/mm] < [mm]\infty[/mm]
> gegeben und möchte diese darstellen.
>
> Zuerst soll der Realteil und der Imaginärteil bestimmt
> werden werden.
> Meine frage ist nun wie ich den Real und imaginäranteil
> dieser komplexen ortskurve darstellen kann.
>
> [mm]z(\omega)=\bruch{1}{\omega+j}[/mm]
>
> Wenn ich einfach sage:
>
> [mm]z(\omega)=\bruch{1}{\omega+j}[/mm] =
> [mm]z(\omega)=\bruch{1}{\omega}+\bruch{1}{j}[/mm]
>
> habe ich nun schon mit
> [mm]z(\omega)=\bruch{1}{\omega}[/mm] <- Realanteil
> [mm]z(\omega)=\bruch{1}{j}[/mm] <- Imaginäranteil
>
> oder muss ich dort mit konjungiert komplex erweiern um zu
> einem ergebniss zu kommen ?
>
Ja. Erweitere mit den konjugiert komplexen, dann erhältst Du Real- und Imaginärteil.
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> vielen dank schonmal für die hilfe
>
>
>
Gruß
MathePower
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Okay meine rechnung mit dem konjungiert komplex sieht wie folgt aus:
[mm] z(\omega)=\bruch{1}{\omega+j}
[/mm]
[mm] z(\omega)=\bruch{1}{\omega+j}*\bruch{\omega-j}{\omega-j}
[/mm]
[mm] z(\omega)=\bruch{\omega-j}{\omega²-j²} [/mm] hinweis(j²=-1)
Realanteil:
[mm] z(\omega)=\bruch{\omega}{\omega²+1}
[/mm]
Imaginärateil:
[mm] z(\omega)=\bruch{\omega-j}{\omega²+1}
[/mm]
liege ich soweit auf dem richtigen weg ?
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Hallo kriegerGT,
> Okay meine rechnung mit dem konjungiert komplex sieht wie
> folgt aus:
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> [mm]z(\omega)=\bruch{1}{\omega+j}[/mm]
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> [mm]z(\omega)=\bruch{1}{\omega+j}*\bruch{\omega-j}{\omega-j}[/mm]
>
> [mm]z(\omega)=\bruch{\omega-j}{\omega²-j²}[/mm]
> hinweis(j²=-1)
>
> Realanteil:
>
> [mm]z(\omega)=\bruch{\omega}{\omega²+1}[/mm]
>
> Imaginärateil:
>
> [mm]z(\omega)=\bruch{\omega-j}{\omega²+1}[/mm]
>
> liege ich soweit auf dem richtigen weg ?
Leider nicht.
[mm]\omega = Re \ \omega + j * Im \ \omega[/mm]
[mm]\overline{\omega} = Re \ \omega - j * Im \ \omega[/mm]
[mm]\overline{\omega+j}=\overline{\omega}+\overline{j}=\overline{\omega}-j[/mm]
Dann gilt:
[mm]\bruch{1}{\omega+j}=\bruch{1}{\omega+j}*\bruch{\overline{\omega+j}}{\overline{\omega+j}}=\bruch{1}{\omega+j}*\bruch{\overline{\omega}-j}{\overline{\omega}-j}[/mm]
[mm]=\bruch{\overline{\omega}-j}{{\omega*\overline{\omega}}+j*\left(\overline{\omega}-\omega\right)-j^{2}}}[/mm]
Gruß
MathePower
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hmm wenn ich das so umstelle dann hänge ich jedoch bei der nächsten aufgabe... dort soll ich nämlich eine wertetabelle ausfüllen.
und zwar ist gegeben [mm] \omega [/mm] = 0, [mm] \bruch{1}{2}, [/mm] 1, 2, [mm] \infty
[/mm]
eintragen soll ich dafür jeweils das ergebnis vom Realteil und Imaginärteil.
Was soll ich denn bitte dann für [mm] \overline{\omega} [/mm] einsetzen ?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:00 Fr 21.03.2008 | | Autor: | Infinit |
Hallo kriegerGT,
der Tipp von Mathepower ist nicht so das Tollste, um es mal so auszudrücken, denn [mm] \omega [/mm] ist eine reelle Größe, wie man aus der Definition Deiner Aufgabe entnehmen kann.
Also, einfach konjugiert komplex erweitern und Du bekommst
$$ [mm] \bruch{1}{\omega + j} \cdot \bruch{1}{\omega - j} [/mm] = [mm] \bruch{\omega}{\omega^2+1} [/mm] - j [mm] \bruch{1}{\omega^2+1} \, [/mm] . $$
Damit dürfte Deine weitere Aufgabe zu lösen sein.
Viele Grüße,
Infinit
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> [mm]\omega = Re \ \omega + j * Im \ \omega[/mm]
> [mm]\overline{\omega} = Re \ \omega - j * Im \ \omega[/mm]
Hallo,
lt. Aufgabenstellung ist 0 $ [mm] \le \omega [/mm] $ < $ [mm] \infty [/mm] $, [mm] \omega [/mm] also reell.
Daher macht krieger die Sache schon richtig, wenn er sein [mm] z(\omega) [/mm] mit [mm] \omega [/mm] - j erweitert.
Gruß v. Angela
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> Okay meine rechnung mit dem konjungiert komplex sieht wie
> folgt aus:
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> [mm]z(\omega)=\bruch{1}{\omega+j}[/mm]
>
> [mm]z(\omega)=\bruch{1}{\omega+j}*\bruch{\omega-j}{\omega-j}[/mm]
>
> [mm]z(\omega)=\bruch{\omega-j}{\omega²-j²}[/mm]
> hinweis(j²=-1)
>
> Realanteil:
>
> [mm]z(\omega)=\bruch{\omega}{\omega²+1}[/mm]
>
> Imaginärateil:
>
> [mm]z(\omega)=\bruch{\omega-j}{\omega²+1}[/mm]
>
> liege ich soweit auf dem richtigen weg ?
Hallo,
fast.
Du hast jetzt
[mm] z(\omega) =\bruch{\omega-j}{\omega^2+1}=\underbrace{\bruch{\omega}{\omega^2+1}}_{Realteil} +j*\underbrace{\bruch{-1}{\omega^2+1}}_{Imaginaerteil}
[/mm]
Gruß v. Angela
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Vielen dank erstmal.
Also wenn ich das nun richtig verstanden habe ist der
Realteil:
[mm] \bruch{\omega}{\omega²+1}
[/mm]
Imaginärteil:
[mm] \bruch{-1}{\omega²+1}
[/mm]
(muss ich beim imaginärteil die imaginäreinheit j nicht mit berücksichtigen ? )
Das ausfüllen der folgenden tabelle ist dann ja nurnoch ein zahleneinsetzen.
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Nein, denn der Imaginärteil einer komplexen Zahl ist lediglich der Koeffizient (also die reelle Zahl) vor dem $j_$ .
