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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:02 So 04.11.2007 | | Autor: | jboss |
| Aufgabe | Skizziere die folgende Teilmenge von [mm] \IC
[/mm]
{z [mm] \in \IC [/mm] : 1 <= |z - 2 + i| <= 5} |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallöchen,
hoffe ihr könnt uns mit einem Tipp weiterhelfen. Sitzen hier zu zweit und zerbrechen uns seit einer halben Stunde den Kopf über dieser Aufgabe.
Einen Ansatz haben wir. Jedoch kommen wir an einer Stelle nicht weiter :-(
Nachfolgend unsere bisherigen Überlegungen:
Sei z = a + bi
1 <= |a + bi - 2 + i| <= 5
1 <= |(a - 2) + (b + 1)i| <= 5
Formel für den Absolutbetrag:
1 <= [mm] \wurzel{(a - 2)² + (b + 1)²} [/mm] <= 5
1 <= [mm] \wurzel{a² - 4a + 4 + b² + 2b + 1} [/mm] <=5
Quadrieren um die Wurzel loszuwerden:
1 <= a² + b² - 4a + 2b +5 <= 25
Das ist der Punkt an dem wir nicht mehr weiterwissen! Wäre toll, falls uns jemand eine kleine Hilfestllung bieten würde.
lg Jakob und Elio
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> Skizziere die folgende Teilmenge von [mm]\IC[/mm]
> [mm] $\{z \in \IC : 1 <= |z - 2 + i| <= 5\}$
[/mm]
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallöchen,
>
> hoffe ihr könnt uns mit einem Tipp weiterhelfen. Sitzen
> hier zu zweit und zerbrechen uns seit einer halben Stunde
> den Kopf über dieser Aufgabe.
> Einen Ansatz haben wir. Jedoch kommen wir an einer Stelle
> nicht weiter :-(
> Nachfolgend unsere bisherigen Überlegungen:
>
> Sei z = a + bi
>
> 1 <= |a + bi - 2 + i| <= 5
> 1 <= |(a - 2) + (b + 1)i| <= 5
>
> Formel für den Absolutbetrag:
> 1 <= [mm]\wurzel{(a - 2)² + (b + 1)²}[/mm] <= 5
> 1 <= [mm]\wurzel{a² - 4a + 4 + b² + 2b + 1}[/mm] <=5
>
> Quadrieren um die Wurzel loszuwerden:
> 1 <= a² + b² - 4a + 2b +5 <= 25
>
> Das ist der Punkt an dem wir nicht mehr weiterwissen!
Tja. Dies ist alles gut gemeint, aber eigentlich viel zu viel Arbeit, die ihr euch hier macht. Es ist einfacher sich zu merken, dass [mm] $|z-z_0|$ [/mm] der Abstand der beiden Punkte $z$ und [mm] $z_0$ [/mm] der komplexen Ebene ist.
>Wäre
> toll, falls uns jemand eine kleine Hilfestllung bieten
> würde.
Der Betrag [mm] $|z-(2-\mathrm{i})|$ [/mm] ist nichts anderes, als der Abstand des Punktes $z$ der komplexen Ebene vom Punkt [mm] $2-\mathrm{i}$.
[/mm]
Daher ist [mm] $\{z\in \IC \mid 1\leq |z-(2-\mathrm{i}|\}$ [/mm] die Menge aller Punkte, die auf oder ausserhalb des Kreises mit Zentrum [mm] $2-\mathrm{i}$ [/mm] und Radius $1$ liegen.
Analog ist [mm] $\{z\in \IC \mid |z-(2-\mathrm{i}|\leq 5\}$ [/mm] die Menge aller Punkte, die auf oder innerhalb des Kreises mit Zentrum [mm] $2-\mathrm{i}$ [/mm] und Radius $5$ liegen: also die Kreisscheibe mit Zentrum [mm] $2-\mathrm{i}$ [/mm] und Radius $5$.
Die gegebene Menge [mm] $\{z\in\IC \mid 1\leq |z-(2-\mathrm{i})| \leq 5\}$ [/mm] ist somit der Durchschnitt dieser beiden Mengen, d.h. der (abgeschlossene) Kreisring mit Zentrum [mm] $2-\mathrm{i}$, [/mm] Innenradius $1$ und Aussenradius $5$.
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Versteh das bitte nicht falsch! 
