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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:19 Mo 19.11.2007 | | Autor: | Toni908 |
| Aufgabe | gegeben ist die Gleichung:
[mm] z^{4}-2iz^{2}+8=0
[/mm]
a)Wieviele Lösungen hat die Gleichung in [mm] \IC
[/mm]
b)bestimmen sie alle Lösungen dieser Gleichung! |
Meine Lösung:
Substitution!
[mm] z^{4}=a^{2}
[/mm]
[mm] z^{2}=a
[/mm]
[mm] 0=a^{2}-2ia+8
[/mm]
[mm] a_{1/2}=\bruch{2i}{2} [/mm] +/- [mm] \wurzel[]{(\bruch{2i}{2})²-8}
[/mm]
[mm] a_{1/2}=i [/mm] +/- [mm] \wurzel[]{-9}
[/mm]
[mm] \wurzel[]{-9}=\wurzel[]{9}*i
[/mm]
[mm] a_{1/2}=i [/mm] +/- 3i
[mm] a_{1}=i+3i
[/mm]
[mm] a_{2}=i-3i
[/mm]
i²=-1
(i+3i)²= i²+6i²+9i²=-1-6-9=-16
(i-3i)²=i²-6i²+9i²=-1+6-9=-4
also zu a) die Gleichung hat in [mm] \IC [/mm] 2 Lösungen!
zu b) Lösung 1= -16
Lösung 2= -4
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Hi,
> gegeben ist die Gleichung:
> [mm]z^{4}-2iz^{2}+8=0[/mm]
>
> a)Wieviele Lösungen hat die Gleichung in [mm]\IC[/mm]
>
> b)bestimmen sie alle Lösungen dieser Gleichung!
> Meine Lösung:
>
> Substitution!
>
> [mm]z^{4}=a^{2}[/mm]
> [mm]z^{2}=a[/mm]
>
> [mm]0=a^{2}-2ia+8[/mm]
> [mm]a_{1/2}=\bruch{2i}{2}[/mm] +/- [mm]\wurzel[]{(\bruch{2i}{2})²-8}[/mm]
> [mm]a_{1/2}=i[/mm] +/- [mm]\wurzel[]{-9}[/mm]
>
> [mm]\wurzel[]{-9}=\wurzel[]{9}*i[/mm]
>
> [mm]a_{1/2}=i[/mm] +/- 3i
ich vertraue mal darauf, dass du die p/q-formel beherrschst... also
[mm] $a_1=4i$ [/mm] und [mm] $a_2=-2i$
[/mm]
>
> [mm]a_{1}=i+3i[/mm]
> [mm]a_{2}=i-3i[/mm]
>
> i²=-1
>
> (i+3i)²= i²+6i²+9i²=-1-6-9=-16
> (i-3i)²=i²-6i²+9i²=-1+6-9=-4
>
> also zu a) die Gleichung hat in [mm]\IC[/mm] 2 Lösungen!
> zu b) Lösung 1= -16
> Lösung 2= -4
ich fuerchte, hier bist du in die falsche richtung gegangen... es ist [mm] $z^2=a$, [/mm] dh. du musst diejenigen $z$ suchen, die quadriert $a$ ergeben, nicht $a$ quadrieren. du suchst also sozusagen die komplexen quadratwurzeln von [mm] $a_1$ [/mm] und [mm] $a_2$.
[/mm]
Wie sehen denn zb. die wurzeln von $4i$ aus? denke mal an den komplexen einheitskreis und die exponentialfunktion [mm] $e^{it}$.
[/mm]
gruss
matthias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:51 Sa 22.03.2008 | | Autor: | Toni908 |
[mm] r=|z|=\wurzel{0²+4²}=4 [/mm] ; [mm] cos\phi=\bruch{x}{r}=cos0=\bruch{\pi}{2}
[/mm]
k=0:
[mm] \wurzel{a1}=\wurzel{4i}
[/mm]
[mm] =\wurzel{4}(cos(\bruch{\bruch{\pi}{2}+0*2\pi}{2})+i*sin(\bruch{\bruch{\pi}{2}+0*2\pi}{2}))
[/mm]
[mm] =(cos(\bruch{\pi}{4})+i*sin(\bruch{\pi}{4}))
[/mm]
[mm] =\wurzel{2}+i\wurzel{2}
[/mm]
k=1:
[mm] \wurzel{a1}=\wurzel{4i}
[/mm]
[mm] =\wurzel{4}(cos(\bruch{\bruch{\pi}{2}+1*2\pi}{2})+i*sin(\bruch{\bruch{\pi}{2}+1*2\pi}{2}))
[/mm]
[mm] =(cos(-\bruch{1}{2}\wurzel{2})+i*sin(-\bruch{1}{2}\wurzel{2}))
[/mm]
[mm] =-\wurzel{2}-i\wurzel{2}
[/mm]
k=0:
[mm] \wurzel{a2}=\wurzel{-2i}
[/mm]
[mm] =\wurzel{2}(cos(\bruch{\bruch{\pi}{2}+0*2\pi}{2})+i*sin(\bruch{\bruch{\pi}{2}+0*2\pi}{2}))
[/mm]
[mm] =(cos(\bruch{\pi}{4})+i*sin(\bruch{\pi}{4}))
[/mm]
=1+i
k=1:
[mm] \wurzel{a2}=\wurzel{-2i}
[/mm]
[mm] =\wurzel{2}(cos(\bruch{\bruch{\pi}{2}+1*2\pi}{2})+i*sin(\bruch{\bruch{\pi}{2}+1*2\pi}{2}))
[/mm]
[mm] =(cos(\bruch{5}{4}\pi)+i*sin(\bruch{5}{4}\pi))
[/mm]
=-1-i
LG Toni
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Hallo Toni,
> [mm]r=|z|=\wurzel{0²+4²}=4[/mm] ;
> [mm]cos\phi=\bruch{x}{r}=cos0=\bruch{\pi}{2}[/mm]
>
> k=0:
> [mm]\wurzel{a1}=\wurzel{4i}[/mm]
>
> [mm]=\wurzel{4}(cos(\bruch{\bruch{\pi}{2}+0*2\pi}{2})+i*sin(\bruch{\bruch{\pi}{2}+0*2\pi}{2}))[/mm]
> [mm]=(cos(\bruch{\pi}{4})+i*sin(\bruch{\pi}{4}))[/mm]
> [mm]=\wurzel{2}+i\wurzel{2}[/mm]
>
> k=1:
> [mm]\wurzel{a1}=\wurzel{4i}[/mm]
>
> [mm]=\wurzel{4}(cos(\bruch{\bruch{\pi}{2}+1*2\pi}{2})+i*sin(\bruch{\bruch{\pi}{2}+1*2\pi}{2}))[/mm]
>
> [mm]=(cos(-\bruch{1}{2}\wurzel{2})+i*sin(-\bruch{1}{2}\wurzel{2}))[/mm]
> [mm]=-\wurzel{2}-i\wurzel{2}[/mm]
Das Ergebnis ist richtig; teilweise Fehler in den Zwischenschritten.
> k=0:
> [mm]\wurzel{a2}=\wurzel{-2i}[/mm]
>
> [mm]=\wurzel{2}(cos(\bruch{\bruch{\pi}{2}+0*2\pi}{2})+i*sin(\bruch{\bruch{\pi}{2}+0*2\pi}{2}))[/mm]
> [mm]=(cos(\bruch{\pi}{4})+i*sin(\bruch{\pi}{4}))[/mm]
> =1+i
Hier ein Fehler. Das muss heißen:
[mm]=\wurzel{2}(cos(\bruch{\bruch{3*\pi}{2}+0*2\pi}{2})+i*sin(\bruch{\bruch{3*\pi}{2}+0*2\pi}{2}))= -1+i[/mm]
> k=1:
> [mm]\wurzel{a2}=\wurzel{-2i}[/mm]
>
> [mm]=\wurzel{2}(cos(\bruch{\bruch{\pi}{2}+1*2\pi}{2})+i*sin(\bruch{\bruch{\pi}{2}+1*2\pi}{2}))[/mm]
> [mm]=(cos(\bruch{5}{4}\pi)+i*sin(\bruch{5}{4}\pi))[/mm]
> =-1-i
Entsprechend auch hier der Fehler:
[mm]=\wurzel{2}(cos(\bruch{3*\bruch{\pi}{2}+1*2\pi}{2})+i*sin(\bruch{\bruch{3*\pi}{2}+1*2\pi}{2})) = 1-i[/mm]
LG, Martinius
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