komplexe Zahlen < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Geben sie die Spiegelung [mm] \phi [/mm] : [mm] \IC \rightarrow \IC [/mm] der komplexen Ebene an der reellen Geraden durch 2 und i in der Form [mm] \phi(z)=u*\overline{z}+a [/mm] an! |
Hallo zusammen,
Ich verstehe hier leider gar nicht, was man von mir verlangt...ist mit der Geraden einfach eine Gerade durch 2 und i gemeint und dann eine Spiegelung aller z an dieser Geraden? Und wie kann ich mir das dann vorstellen? Ich habe da diese Zeiger im Kopf, und dabei fällt mir die Vorstellung einer Spiegelung dann schwer...kann mir da jemand auf die Sprünge helfen?
|
|
| |
|
Hallo,
> Geben sie die Spiegelung [mm]\phi[/mm] : [mm]\IC \rightarrow \IC[/mm] der
> komplexen Ebene an der reellen Geraden durch 2 und i in der
> Form [mm]\phi(z)=u*\overline{z}+a[/mm] an!
> Hallo zusammen,
>
> Ich verstehe hier leider gar nicht, was man von mir
> verlangt...ist mit der Geraden einfach eine Gerade durch 2
> und i gemeint und dann eine Spiegelung aller z an dieser
> Geraden?
ich bin mir nicht ganz sicher, aber ich meine zu wissen, dass mit dem Begriff Reelle Gerade in [mm] \IC [/mm] einfach eine Gerade in der Darstellung
Im(z)=m*Re(z)+c
gemeint ist.
> Und wie kann ich mir das dann vorstellen? Ich habe
> da diese Zeiger im Kopf, und dabei fällt mir die
> Vorstellung einer Spiegelung dann schwer...kann mir da
> jemand auf die Sprünge helfen?
Ein wenig ist es so wie bei affinen Abbildungen [mm] \IR^2 [/mm] -> [mm] \IR^2, [/mm] nur das man hier die Abbildung nicht mit einer Matrix, sondern mit einer komplexwertigen Funktion in der angegebenen Form angibt.
Wie viele Paare von Urbildern und ihren Bildern bräuchtest du im [mm] \IR^2? [/mm] Genau so viele brauchst du hier, nämlich 2 Paare. Wenn man sich die einfach mal so mit den Eigenschaften einer Spiegelung klar macht, dann einsetzt, so erhält man die Parameter u und a, indem man das entstehende komplexe 2x2-LGS löst.
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
Hi,
so ich habe das jetzt langsam verstanden, ich habe mir das zunächst an Ursprungsgeraden klar gemacht:
Durch Drehung und geeignete Spiegelungen zum Ziel gelangen.
1. Ich drehe z um den Winkel der Geraden zur Re im Uhrzeigersinn. [mm] \phi_{d}
[/mm]
2. Spiegelung an der Re-Achse, also [mm] \overline{z} [/mm] bilden. [mm] \phi_{s}
[/mm]
3. Wieder zurück drehen. [mm] \phi_{z}
[/mm]
[mm] z\rightarrow\phi_z(\phi_s(\phi_d(z)))=\overline{ze^{-\alpha*i}}*e^{\alpha*i}
[/mm]
Und jede beliebige Gerade lässt sich durch Verschiebung in den Ursprung legen. Also muss man zu beginn noch einmal verschieben und das ganze am ende wieder "korrigieren".
Also habe ich jetzt:
[mm] \phi_{Vhin}: z\rightarrow [/mm] z-a und [mm] \phi_{Vzurück}: z\rightarrow [/mm] z+a
[mm] \Rightarrow\phi_{komplett}(z)=\phi_{Vzurück}(\phi_z(\phi_s(\phi_d(\phi_{Vhin}(z)))))=\overline{(z-a)e^{-\alpha*i}}*e^{\alpha*i}+a
[/mm]
1. Stimmt das soweit?
2. jetzt würde ich das gerne mal als Funktion der Form [mm] u*\overline{z}+a [/mm] angeben. Wie gehe ich dabei am günstigstten vor?
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Hi,
>
> so ich habe das jetzt langsam verstanden, ich habe mir das
> zunächst an Ursprungsgeraden klar gemacht:
>
> Durch Drehung und geeignete Spiegelungen zum Ziel
> gelangen.
> 1. Ich drehe z um den Winkel der Geraden zur Re im
> Uhrzeigersinn. [mm]\phi_{d}[/mm]
> 2. Spiegelung an der Re-Achse, also [mm]\overline{z}[/mm] bilden.
> [mm]\phi_{s}[/mm]
> 3. Wieder zurück drehen. [mm]\phi_{z}[/mm]
>
> [mm]z\rightarrow\phi_z(\phi_s(\phi_d(z)))=\overline{ze^{-\alpha*i}}*e^{\alpha*i}[/mm]
>
> Und jede beliebige Gerade lässt sich durch Verschiebung in
> den Ursprung legen. Also muss man zu beginn noch einmal
> verschieben und das ganze am ende wieder "korrigieren".
> Also habe ich jetzt:
> [mm]\phi_{Vhin}: z\rightarrow[/mm] z-a und [mm]\phi_{Vzurück}: z\rightarrow[/mm]
> z+a
>
> [mm]\Rightarrow\phi_{komplett}(z)=\phi_{Vzurück}(\phi_z(\phi_s(\phi_d(\phi_{Vhin}(z)))))=\overline{(z-a)e^{-\alpha*i}}*e^{\alpha*i}+a[/mm]
>
> 1. Stimmt das soweit?
Das sieht gut aus. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> 2. jetzt würde ich das gerne mal als Funktion der Form
> [mm]u*\overline{z}+a[/mm] angeben. Wie gehe ich dabei am
> günstigstten vor?
Ich hatte ja einen anderen Ansatz im Sinn, ganz ohne Exponentialdarstellung. Aber täusche ich mich, oder musst du da oben einfach nur noch ausmultiplizieren? Es steht ja nirgends, dass u und a aus [mm] \IR [/mm] sein sollen, wenn sie aber aus [mm] \IC [/mm] sein dürfen, dann steht das Eregebnis doch schon fast da.
Gruß, Diophant
|
|
|
|
