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| Aufgabe | Hallo Leute
Ich habe hier eine scheinbar einfache Frage,an der ich schon seit ein paar Stunden sitze.
Ich soll für n = 3,4 und 5 alle z [mm] \in \IC [/mm] mit [mm] z^n [/mm] = 1
a)Ich soll die Lösungen in der Standartform ( a+bi) angeben
b)und zeigen, dass die Lösungen die Eckpunkte eines dem Einheitskreis einbeschriebenen regelmässigen n-Ecks sind. |
Ick komme da nicht weiter und brauche Hilfe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:25 Do 01.06.2006 | | Autor: | felixf |
> Hallo Leute
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> Ich habe hier eine scheinbar einfache Frage,an der ich
> schon seit ein paar Stunden sitze.
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> Ich soll für n = 3,4 und 5 alle z [mm]\in \IC[/mm] mit [mm]z^n[/mm] = 1
Da [mm] $\IC$ [/mm] ein Integriaetsring ist hat das Polynom $f(z) = [mm] z^n [/mm] - 1$ hoechstens $n$ Nullstellen. (Es hat sogar genau $n$ verschiedene Nullstellen.)
> a)Ich soll die Lösungen in der Standartform ( a+bi) angeben
Gib sie doch erstmal in der Form [mm] $\exp(i [/mm] t)$ an, mit $t [mm] \in \IR$. [/mm] (Tipp: es sind genau $n$ Loesungen.)
Und dann benutze [mm] $\exp(i [/mm] t) = [mm] \cos [/mm] t + i [mm] \sin [/mm] t$ (Eulerformel)...
> b)und zeigen, dass die Lösungen die Eckpunkte eines dem
> Einheitskreis einbeschriebenen regelmässigen n-Ecks sind.
Ueberleg dir mal, wie du fuer eine Menge gegebener Punkte dies nachweisen kannst.
LG Felix
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Ein Weg ohne Trigonometrie:
[mm]z^n = 1[/mm] ist äquivalent zu [mm]z^n - 1 = 0[/mm]. Wenn man also das Polynom [mm]p_n(z) = z^n - 1[/mm] definiert, so geht es darum, dessen Nullstellen zu bestimmen.
[mm]n=3[/mm]:
Eine Nullstelle ist offensichtlich [mm]1[/mm]. Also kann man den Linearfaktor [mm]z-1[/mm] abspalten (Polynomdivision):
[mm]p_3(z) = (z-1) \, q_3(z)[/mm]
[mm]q_3(z)[/mm] ist ein quadratisches Polynom, dessen Nullstellen sich mit der Lösungsformel für quadratische Gleichungen bestimmen lassen.
[mm]n=4[/mm]:
[mm]p_4(z)[/mm] kann mit der dritten binomischen Formel zerlegt werden, die entstehenden quadratischen Faktoren ebenfalls.
[mm]n=5[/mm]:
Eine Nullstelle ist offensichtlich [mm]1[/mm]. Also kann man den Linearfaktor [mm]z-1[/mm] abspalten (Polynomdivision):
[mm]p_5(z) = (z-1) \, q_5(z)[/mm]
[mm]q_5(z)[/mm] ist ein Polynom vom Grade 4 mit symmetrischen Koeffizienten. Dividiere die Gleichung [mm]q_5(z) = 0[/mm] durch [mm]z^2[/mm] und addiere auf beiden Seiten 1. Dann kannst du die Gleichung mit Hilfe der Substitution [mm]w = z + \frac{1}{z}[/mm] (beachte, daß dann [mm]w^2 = z^2 + \frac{1}{z^2} + 2[/mm] ist) in eine quadratische Gleichung in [mm]w[/mm] überführen. Diese mußt du dann lösen, schließlich resubstituieren und erneut zwei quadratische Gleichungen in [mm]z[/mm] lösen.
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