komplexe Teilmengen, Gebiete < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Status: |
(Frage) beantwortet | Datum: | 19:34 Fr 06.03.2009 | Autor: | Marcel08 |
Aufgabe | Welche der folgenden Teilmengen von [mm] \IC [/mm] sind Gebiete? Veranschaulichen Sie sich die ersten vier Mengen mithilfe von Skizzen!
a) [mm] [z\in\IC:|z-4|<10]
[/mm]
b) [mm] [z\in\IC:|z-4|\le10]
[/mm]
c) [mm] [z\in\IC:|z|<1]\cup[z\in\IC:|z-10|<1]
[/mm]
d) [mm] [z\in\IC:|z|<1]\cup[z\in\IC:|z-1|<1]
[/mm]
e) [mm] \IC
[/mm]
f) [mm] \bruch{\IC}{\IR}
[/mm]
g) [mm] \IR [/mm] |
Hallo Matheraum,
bezüglich dieser Aufgabe würde ich mich sehr über eine Korrekturlesung mit kurzen Statements zu meinen Begründungen freuen.
Zunächst würde ich folgendes sagen:
In der Topologie und Analysis bezeichnet der Begriff Gebiet eine offene, nichtleere und zusammenhängende Teilmenge eines topologischen Raumes.
zu a) Hier gilt nach Auflösung der Beträge -6<x<14. Hier handelt es sich
um ein Gebiet, da die Teilmenge offen, nichtleer und
zusammenhängend ist.
zu b) Hier sieht man bereits beim Hinsehen, dass die Teilmenge nicht offen
ist. Dies erkennt man an dem [mm] \le [/mm] Zeichen.
zu c) Wir lösen die Beträge auf und erhalten: -1<x<1 [mm] \cup [/mm] 9<x<11. Hier
handelt es sich nicht um ein Gebiet, da die beiden Teilmengen nicht
zusammenhängend ist.
zu d) Die Betragsauflösung liefert -1<x<1 [mm] \cup [/mm] 0<x<2. Hier handelt es sich
wieder um ein Gebiet, da die Teilmengen offen, nichtleer aber vor
allem zusammenhängend sind.
zu e) Es gilt ja [mm] \IC\subseteq\IC. [/mm] Hier würde ich deswegen auch ein Gebiet
vermuten, da [mm] \IC [/mm] selbst das größtmögliche Gebiet darstellt.
zu f) Hier würde ich wie folgt ansetzen: [mm] \IC\supset\IR. [/mm] Dabei würde ich die
gleiche Begründung wie bei g) vorschlagen.
zu g) Hier gilt ja wieder [mm] \IR\subset\IC. [/mm] Es handelt sich hier nicht um ein
Gebiet, da [mm] \IR [/mm] in [mm] \IC [/mm] nicht offen ist. Das vermute ich allerdings nur, weil
ich mir fast sicher bin, dass [mm] \IR [/mm] sowohl nichtleer als auch
zusammenhängend ist. Die Offenheit kann ich mir allerdings nicht
wirklich vorstellen.
Meine Fragen:
1.) Stimmen sowohl die Lösungen als auch die Begründungen?
2.) Über entsprechende Korrekturen würde ich mich sehr freuen.
Gruß, Marcel
|
|
|
|
Status: |
(Antwort) fertig | Datum: | 22:13 Fr 06.03.2009 | Autor: | abakus |
> Welche der folgenden Teilmengen von [mm]\IC[/mm] sind Gebiete?
> Veranschaulichen Sie sich die ersten vier Mengen mithilfe
> von Skizzen!
>
> a) [mm][z\in\IC:|z-4|<10][/mm]
>
> b) [mm][z\in\IC:|z-4|\le10][/mm]
>
> c) [mm][z\in\IC:|z|<1]\cup[z\in\IC:|z-10|<1][/mm]
>
> d) [mm][z\in\IC:|z|<1]\cup[z\in\IC:|z-1|<1][/mm]
>
> e) [mm]\IC[/mm]
>
> f) [mm]\bruch{\IC}{\IR}[/mm]
>
> g) [mm]\IR[/mm]
> Hallo Matheraum,
>
>
>
>
> bezüglich dieser Aufgabe würde ich mich sehr über eine
> Korrekturlesung mit kurzen Statements zu meinen
> Begründungen freuen.
>
>
>
> Zunächst würde ich folgendes sagen:
>
>
> In der Topologie und Analysis bezeichnet der Begriff Gebiet
> eine offene, nichtleere und zusammenhängende Teilmenge
> eines topologischen Raumes.
>
>
>
> zu a) Hier gilt nach Auflösung der Beträge -6<x<14. Hier
> handelt es sich
> um ein Gebiet, da die Teilmenge offen, nichtleer und
> zusammenhängend ist.
Halo,
zum eigentlichen Kern deiner Frage kann ich nichts sagen, allerdings weckt deine Interprtation des Gegebenen meinen Widerspruch. Da es sich um komplexe Zahlen handelt, ist eine Argumentation allein mit Realteilen " Hier gilt nach Auflösung der Beträge -6<x<14." etwas am Thema vorbei.
[mm][z\in\IC:|z-4|<10][/mm] beschreibt konkret das Innere eines Kreises um z=4 mit dem Radius 10. Bei b) ist es entsprechend das Innere und der Rand.
Gruß Abakus
>
>
> zu b) Hier sieht man bereits beim Hinsehen, dass die
> Teilmenge nicht offen
> ist. Dies erkennt man an dem [mm]\le[/mm] Zeichen.
>
>
> zu c) Wir lösen die Beträge auf und erhalten: -1<x<1 [mm]\cup[/mm]
> 9<x<11. Hier
> handelt es sich nicht um ein Gebiet, da die beiden
> Teilmengen nicht
> zusammenhängend ist.
>
>
> zu d) Die Betragsauflösung liefert -1<x<1 [mm]\cup[/mm] 0<x<2. Hier
> handelt es sich
> wieder um ein Gebiet, da die Teilmengen offen, nichtleer
> aber vor
> allem zusammenhängend sind.
>
>
> zu e) Es gilt ja [mm]\IC\subseteq\IC.[/mm] Hier würde ich deswegen
> auch ein Gebiet
> vermuten, da [mm]\IC[/mm] selbst das größtmögliche Gebiet
> darstellt.
>
>
> zu f) Hier würde ich wie folgt ansetzen: [mm]\IC\supset\IR.[/mm]
> Dabei würde ich die
> gleiche Begründung wie bei g) vorschlagen.
>
>
> zu g) Hier gilt ja wieder [mm]\IR\subset\IC.[/mm] Es handelt sich
> hier nicht um ein
> Gebiet, da [mm]\IR[/mm] in [mm]\IC[/mm] nicht offen ist. Das vermute ich
> allerdings nur, weil
> ich mir fast sicher bin, dass [mm]\IR[/mm] sowohl nichtleer als auch
> zusammenhängend ist. Die Offenheit kann ich mir allerdings
> nicht
> wirklich vorstellen.
>
>
>
> Meine Fragen:
>
>
> 1.) Stimmen sowohl die Lösungen als auch die Begründungen?
>
> 2.) Über entsprechende Korrekturen würde ich mich sehr
> freuen.
>
>
>
>
>
> Gruß, Marcel
|
|
|
|
|
Status: |
(Frage) beantwortet | Datum: | 08:55 Sa 07.03.2009 | Autor: | Marcel08 |
Hallo,
du hast sicherlich recht mit deiner Beobachtung. Allerdings denke ich nicht, dass sich an den eigentlichen Lösungen etwas ändert. Ob ich nun beispielsweise bei c) zwei Geraden betrachte, die nicht aufeinanderliegen oder sich nicht mindestens in einem Punkt berühren, oder ob es zwei Kreise sind, die sich nicht schneiden oder zumindest berühren. Die einzelnen Teilmengen wären in beiden Betrachtungen keine Gebiete, oder sehe ich das falsch? Dennoch würde ich gerne wissen, wie man wirklich richtig argumentiert.
Gruß, Marcel
|
|
|
|
|
> Hallo,
>
>
> du hast sicherlich recht mit deiner Beobachtung. Allerdings
> denke ich nicht, dass sich an den eigentlichen Lösungen
> etwas ändert. Ob ich nun beispielsweise bei c) zwei Geraden
> betrachte, die nicht aufeinanderliegen oder sich nicht
> mindestens in einem Punkt berühren, oder ob es zwei Kreise
> sind, die sich nicht schneiden oder zumindest berühren. Die
> einzelnen Teilmengen wären in beiden Betrachtungen keine
> Gebiete, oder sehe ich das falsch? Dennoch würde ich gerne
> wissen, wie man wirklich richtig argumentiert.
>
Ein topologischer Raum heisst zusammenhängend, wenn er sich nicht in zwei nicht-leere und disjunkte offene Teilmengen zerlegen lässt.
Eine Teilmenge eines topologischen Raumes heisst zusammenhängend, wenn sie als topologischer Teilraum (mit "Spurtopologie") aufgefasst zusammenhängend ist.
In den Beispielen c) und d) hat man sogleich eine solche, den Zusammenhang der gegebenen Menge (bezüglich der Spurtopologie) widerlegende Zerlegung in zwei nicht-leere und disjunkte offene Teilmengen (nicht-überlappendes Inneres zweier Kreisscheiben in [mm] $\IC$):
[/mm]
Bei c) die Mengen [mm] $\{z\in\IC\;:\; |z|^2<1\}$ [/mm] und [mm] $\{z\in\IC\;:\; |z-10|^2<1\}$
[/mm]
und bei d) die Mengen [mm] $\{z\in\IC\;:\; |z|^2<1\}$ [/mm] und [mm] $\{z\in\IC\;:\; |z-1|^2<1\}$
[/mm]
|
|
|
|
|
Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | Datum: | 10:14 Sa 07.03.2009 | Autor: | fred97 |
> > Welche der folgenden Teilmengen von [mm]\IC[/mm] sind Gebiete?
> > Veranschaulichen Sie sich die ersten vier Mengen mithilfe
> > von Skizzen!
> >
> > a) [mm][z\in\IC:|z-4|<10][/mm]
> >
> > b) [mm][z\in\IC:|z-4|\le10][/mm]
> >
> > c) [mm][z\in\IC:|z|<1]\cup[z\in\IC:|z-10|<1][/mm]
> >
> > d) [mm][z\in\IC:|z|<1]\cup[z\in\IC:|z-1|<1][/mm]
> >
> > e) [mm]\IC[/mm]
> >
> > f) [mm]\bruch{\IC}{\IR}[/mm]
> >
> > g) [mm]\IR[/mm]
> > Hallo Matheraum,
> >
> >
> >
> >
> > bezüglich dieser Aufgabe würde ich mich sehr über eine
> > Korrekturlesung mit kurzen Statements zu meinen
> > Begründungen freuen.
> >
> >
> >
> > Zunächst würde ich folgendes sagen:
> >
> >
> > In der Topologie und Analysis bezeichnet der Begriff Gebiet
> > eine offene, nichtleere und zusammenhängende Teilmenge
> > eines topologischen Raumes.
> >
> >
> >
> > zu a) Hier gilt nach Auflösung der Beträge -6<x<14. Hier
> > handelt es sich
> > um ein Gebiet, da die Teilmenge offen, nichtleer und
> > zusammenhängend ist.
> Halo,
> zum eigentlichen Kern deiner Frage kann ich nichts sagen,
> allerdings weckt deine Interprtation des Gegebenen meinen
> Widerspruch. Da es sich um komplexe Zahlen handelt, ist
> eine Argumentation allein mit Realteilen " Hier gilt nach
> Auflösung der Beträge -6<x<14." etwas am Thema vorbei.
> [mm][z\in\IC:|z-4|<10][/mm] beschreibt konkret das Innere eines
> Kreises um z=4 mit dem Radius 10.
Nein. mit Radius [mm] \wurzel{10}
[/mm]
FRED
>Bei b) ist es
> entsprechend das Innere und der Rand.
> Gruß Abakus
>
> >
> >
> > zu b) Hier sieht man bereits beim Hinsehen, dass die
> > Teilmenge nicht offen
> > ist. Dies erkennt man an dem [mm]\le[/mm] Zeichen.
> >
> >
> > zu c) Wir lösen die Beträge auf und erhalten: -1<x<1 [mm]\cup[/mm]
> > 9<x<11. Hier
> > handelt es sich nicht um ein Gebiet, da die beiden
> > Teilmengen nicht
> > zusammenhängend ist.
> >
> >
> > zu d) Die Betragsauflösung liefert -1<x<1 [mm]\cup[/mm] 0<x<2. Hier
> > handelt es sich
> > wieder um ein Gebiet, da die Teilmengen offen, nichtleer
> > aber vor
> > allem zusammenhängend sind.
> >
> >
> > zu e) Es gilt ja [mm]\IC\subseteq\IC.[/mm] Hier würde ich deswegen
> > auch ein Gebiet
> > vermuten, da [mm]\IC[/mm] selbst das größtmögliche Gebiet
> > darstellt.
> >
> >
> > zu f) Hier würde ich wie folgt ansetzen: [mm]\IC\supset\IR.[/mm]
> > Dabei würde ich die
> > gleiche Begründung wie bei g) vorschlagen.
> >
> >
> > zu g) Hier gilt ja wieder [mm]\IR\subset\IC.[/mm] Es handelt sich
> > hier nicht um ein
> > Gebiet, da [mm]\IR[/mm] in [mm]\IC[/mm] nicht offen ist. Das vermute ich
> > allerdings nur, weil
> > ich mir fast sicher bin, dass [mm]\IR[/mm] sowohl nichtleer als auch
> > zusammenhängend ist. Die Offenheit kann ich mir allerdings
> > nicht
> > wirklich vorstellen.
> >
> >
> >
> > Meine Fragen:
> >
> >
> > 1.) Stimmen sowohl die Lösungen als auch die Begründungen?
> >
> > 2.) Über entsprechende Korrekturen würde ich mich sehr
> > freuen.
> >
> >
> >
> >
> >
> > Gruß, Marcel
>
|
|
|
|
|
Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | Datum: | 09:56 Sa 07.03.2009 | Autor: | Marcel08 |
Wie sieht es aus bei den Aufgabenteilen e), f) und g)?
|
|
|
|
|
Status: |
(Antwort) fertig | Datum: | 14:51 Sa 07.03.2009 | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Welche der folgenden Teilmengen von [mm]\IC[/mm] sind Gebiete?
> Veranschaulichen Sie sich die ersten vier Mengen mithilfe
> von Skizzen!
>
> a) [mm][z\in\IC:|z-4|<10][/mm]
>
> b) [mm][z\in\IC:|z-4|\le10][/mm]
>
> c) [mm][z\in\IC:|z|<1]\cup[z\in\IC:|z-10|<1][/mm]
>
> d) [mm][z\in\IC:|z|<1]\cup[z\in\IC:|z-1|<1][/mm]
>
> e) [mm]\IC[/mm]
>
> f) [mm]\bruch{\IC}{\IR}[/mm]
>
> g) [mm]\IR[/mm]
> zu f) Hier würde ich wie folgt ansetzen: [mm]\IC\supset\IR.[/mm]
> Dabei würde ich die
> gleiche Begründung wie bei g) vorschlagen.
Erst einmal ist mir deine Notation nicht klar. Welche Teilmenge ist gemeint? Die Menge aller komplexen Zahlen, die nicht reell sind? Die ist nicht zusammenhängend. Oder handelt es sich hier wirklich um einen Quotienten, das heisst um eine Menge von Äquivalenzklassen?
> zu g) Hier gilt ja wieder [mm]\IR\subset\IC.[/mm] Es handelt sich
> hier nicht um ein
> Gebiet, da [mm]\IR[/mm] in [mm]\IC[/mm] nicht offen ist. Das vermute ich
> allerdings nur, weil
> ich mir fast sicher bin, dass [mm]\IR[/mm] sowohl nichtleer als auch
> zusammenhängend ist. Die Offenheit kann ich mir allerdings
> nicht
> wirklich vorstellen.
Ganz einfach: jeder Punkt einer offenen Menge enthält eine offene [mm] $\epsilon$-Umgebung, [/mm] die ganz in der Menge liegt. Das ist für [mm] $\IR \subset \IC$ [/mm] nicht der Fall, denn jede [mm] $\epsilon$-Umgebung [/mm] einer reellen Zahl enthält komplexe, nicht reelle Zahlen.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
|
|
Status: |
(Frage) beantwortet | Datum: | 15:46 Sa 07.03.2009 | Autor: | Marcel08 |
> Hallo!
>
>
> > Welche der folgenden Teilmengen von [mm]\IC[/mm] sind Gebiete?
> > Veranschaulichen Sie sich die ersten vier Mengen mithilfe
> > von Skizzen!
> >
> > a) [mm][z\in\IC:|z-4|<10][/mm]
> >
> > b) [mm][z\in\IC:|z-4|\le10][/mm]
> >
> > c) [mm][z\in\IC:|z|<1]\cup[z\in\IC:|z-10|<1][/mm]
> >
> > d) [mm][z\in\IC:|z|<1]\cup[z\in\IC:|z-1|<1][/mm]
> >
> > e) [mm]\IC[/mm]
> >
> > f) [mm]\bruch{\IC}{\IR}[/mm]
> >
> > g) [mm]\IR[/mm]
>
> > zu f) Hier würde ich wie folgt ansetzen: [mm]\IC\supset\IR.[/mm]
> > Dabei würde ich die
> > gleiche Begründung wie bei g) vorschlagen.
>
> Erst einmal ist mir deine Notation nicht klar. Welche
> Teilmenge ist gemeint? Die Menge aller komplexen Zahlen,
> die nicht reell sind? Die ist nicht zusammenhängend. Oder
> handelt es sich hier wirklich um einen Quotienten, das
> heisst um eine Menge von Äquivalenzklassen?
Ganz genau steht hier in der Aufgabenstellung: [mm] \IC [/mm] \ [mm] \IR
[/mm]
> > zu g) Hier gilt ja wieder [mm]\IR\subset\IC.[/mm] Es handelt sich
> > hier nicht um ein
> > Gebiet, da [mm]\IR[/mm] in [mm]\IC[/mm] nicht offen ist. Das vermute ich
> > allerdings nur, weil
> > ich mir fast sicher bin, dass [mm]\IR[/mm] sowohl nichtleer als auch
> > zusammenhängend ist. Die Offenheit kann ich mir allerdings
> > nicht
> > wirklich vorstellen.
>
> Ganz einfach: jeder Punkt einer offenen Menge enthält eine
> offene [mm]\epsilon[/mm]-Umgebung, die ganz in der Menge liegt. Das
> ist für [mm]\IR \subset \IC[/mm] nicht der Fall, denn jede
> [mm]\epsilon[/mm]-Umgebung einer reellen Zahl enthält komplexe,
> nicht reelle Zahlen.
Genauer gesagt enthält sie genau 2 weitere Zahlen aus [mm] \IR [/mm] und [mm] \infty [/mm] viele Zahlen aus [mm] \IC, [/mm] oder sehe ich das falsch?
> Viele Grüße
> Rainer
|
|
|
|
|
> > Hallo!
> >
> >
> > > Welche der folgenden Teilmengen von [mm]\IC[/mm] sind Gebiete?
> > > Veranschaulichen Sie sich die ersten vier Mengen mithilfe
> > > von Skizzen!
> > >
> > > a) [mm][z\in\IC:|z-4|<10][/mm]
> > >
> > > b) [mm][z\in\IC:|z-4|\le10][/mm]
> > >
> > > c) [mm][z\in\IC:|z|<1]\cup[z\in\IC:|z-10|<1][/mm]
> > >
> > > d) [mm][z\in\IC:|z|<1]\cup[z\in\IC:|z-1|<1][/mm]
> > >
> > > e) [mm]\IC[/mm]
> > >
> > > f) [mm]\bruch{\IC}{\IR}[/mm]
> > >
> > > g) [mm]\IR[/mm]
> >
> > > zu f) Hier würde ich wie folgt ansetzen: [mm]\IC\supset\IR.[/mm]
> > > Dabei würde ich die
> > > gleiche Begründung wie bei g) vorschlagen.
> >
> > Erst einmal ist mir deine Notation nicht klar. Welche
> > Teilmenge ist gemeint? Die Menge aller komplexen Zahlen,
> > die nicht reell sind? Die ist nicht zusammenhängend. Oder
> > handelt es sich hier wirklich um einen Quotienten, das
> > heisst um eine Menge von Äquivalenzklassen?
>
>
> Ganz genau steht hier in der Aufgabenstellung: [mm]\IC[/mm] \ [mm]\IR[/mm]
Dann ist diese Menge natürlich nicht zusammenhängend, denn sie ist die Vereinigung zweier offener, nicht-leerer Mengen. Nämlich [mm] $\{z\in\IC\;:\; \mathrm{Im}(z)>0\}$ [/mm] (obere Halbebene) und [mm] $\{z\in\IC\;:\; \mathrm{Im}(z)<0\}$ [/mm] (untere Halbebene).
>
>
> > > zu g) Hier gilt ja wieder [mm]\IR\subset\IC.[/mm] Es handelt sich
> > > hier nicht um ein
> > > Gebiet, da [mm]\IR[/mm] in [mm]\IC[/mm] nicht offen ist. Das vermute ich
> > > allerdings nur, weil
> > > ich mir fast sicher bin, dass [mm]\IR[/mm] sowohl nichtleer als auch
> > > zusammenhängend ist. Die Offenheit kann ich mir allerdings
> > > nicht
> > > wirklich vorstellen.
> >
> > Ganz einfach: jeder Punkt einer offenen Menge enthält eine
> > offene [mm]\epsilon[/mm]-Umgebung, die ganz in der Menge liegt. Das
> > ist für [mm]\IR \subset \IC[/mm] nicht der Fall, denn jede
> > [mm]\epsilon[/mm]-Umgebung einer reellen Zahl enthält komplexe,
> > nicht reelle Zahlen.
>
> Genauer gesagt enthält sie genau 2 weitere Zahlen aus [mm]\IR[/mm]
> und [mm]\infty[/mm] viele Zahlen aus [mm]\IC,[/mm] oder sehe ich das falsch?
Ja, das siehst Du falsch. Eine [mm] $\varepsilon$-Umgebung [/mm] einer reellen Zahl enthält immer auch ein ganzes (wenngleich vielleicht sehr kleines) Intervall reeller Zahlen (also unendlich viele reelle Zahlen, nicht bloss zwei...).
|
|
|
|