komplexe Sphäre S^1 < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe 1 | (i) Es seien z,w [mm] \in S^{1}, [/mm] wobei [mm] S^{1}=\{z \in \IC | |z|=1 \}. [/mm] Zeichnen Sie:
z+w und [mm] \bruch{z+w}{|z+w|}. [/mm] |
| Aufgabe 2 | (ii) Es sei F(z) = [mm] \bruch{z+1}{|z+1|}.
[/mm]
Bestimmen Sie den "Definitionsbereich von F aus [mm] S^{1}" [/mm] und zeichnen Sie Bild(F). |
| Aufgabe 3 | | (iii) Es sei F wie in (ii). Zeigen Sie: [mm] F(z)^{2}=z. [/mm] |
| Aufgabe 4 | | (iv) Lösen Sie für jedes t [mm] \in S^{1} [/mm] die Gleichung [mm] w^{2}=t [/mm] |
Guten Abend zusammen,
ich habe versucht die obigen Aufgaben zu lösen, hänge sozusagen aber schon im Ansatz fest, weil mir die Bilder in diesen Aufgaben nicht klar sind.
Zu Aufgabe 1:
Diese Sphäre ist anschaulich praktisch nichts anderes als die Kreisscheibe mit Radius = 1, richtig?
Wenn ich den ersten Teil zeichnen möchte, habe ich ja praktisch:
|z|=1 für z [mm] \in \IC
[/mm]
|w|=1 für w [mm] \in \IC
[/mm]
Muss ich dann beiden addieren und käme dann auf |z|+|w|=2 hinaus und hätte dann einen Kreis mit Radius =2? Irgendwie habe ich das Gefühl, dass ich komplett auf dem falschen Dampfer bin.
Beim zweiten Teil hätte ich dann:
[mm] \bruch{|z|+|w|}{|z+w|}=\bruch{2}{1}
[/mm]
Auch hier der falsche Dampfer bzw. wenn richtig: Was wäre der Unterschied zum ersten Beispiel?
Zu Aufgabe 2:
Der Defintionsbereich soll in [mm] S^{1} [/mm] liegen. D.h. die Werte meines Defintionsbereich liegen in [mm] S^{1}. [/mm] Nur stellt sich für mich die Frage, wie ich das auffschreiben soll und wir ich mir das Bild(F) klarmachen kann? Durch Einsetzen oder mit Hilfe von (1)?
Zu Aufgabe 3:
Hier habe ich versucht, einfachmal wild drauf loszurechnen und [mm] \bruch{z+1}{|z+1|} [/mm] auszurechnen, nur komme ich so überhaupt nicht ans Ziel, weil egal wie ich rechne, es zu einem großen nicht hilfreichen Bruch kommt. Müsste ich also daher das anschaulich mit Hilfe von 2 klar machen? Bzw. die Einschränung auf [mm] S^{1} [/mm] ausnutzen?
Zu Aufgabe 4:
Plump gesagt ist [mm] w^{2}=t \gdw w=\wurzel[2]{t}
[/mm]
Andererseits ist ja w und t [mm] \in S^{1}. [/mm] D.h. [mm] w^{2} \le [/mm] 1 oder? Und was bedeutet das für mein t?
Es wäre cool, wenn ihr mir helfen würdet, da mir das Bild bei dieser Aufgabe überhaupt noch nicht klar ist.
Beste Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:35 Mo 18.04.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
zu 1
du sollst dir einen beliebigees, nicht zu spezielles w auf [mm] S^1, [/mm] das ist der kreis, nicht die Kreisscheibe, aussuchen und alle z auf dem [mm] S^1 [/mm] dazu addieren und durch den Betrag teilen. mach das einfach mal für ein paar z auf dem Kreis, addier sie zu dem festen w, dann mach das Resultat wieder 1 lang. dann siehst du schnell, was das gibt.
aber [mm] |z+w|\ne [/mm] |z|+|w|
2 ist wie 1 nur für ein spezielles w=1
für z aus [mm] S^1 [/mm] kannst du [mm] z=cos/phi+isin\phi [/mm] schreiben und damit rechnen für 3
zu 4 wieder [mm] t=cos\phi+isin\phi [/mm] wie zieht man Wurzeln, bzw wie quadriert man ? vielleicht auch [mm] t=e^{i*\phi}
[/mm]
Gruss leduart
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Hallo leduart,
ich danke dir für deine Antwort :).
Zu 1) Deine Erläuterungen haben mir hier erstmal nur wenig weitergeholfen. Es sind ja praktisch zwei Aufgaben in die Aufgabe. Im ersten Teil geht es nur erstmal darum z+w zu zeichnen.
Deine Erläuterungen beziehen sich auf den zweiten Teil, oder?
Zum Addieren zeichnerisch. Einfach zu einem speziellen w praktisch ein z ergänzen? Und wie teile ich dann durch den Betrag oder meinst du das rechnerisch?
Zu Deiner Gleichung: Ich vermute mal hier läufts auf die Dreiecksungleichung aus?
Zu 2,3) Danke für den Ansatz, ich probier mal mein Glück :)
4) Beim Quadrieren gilt: [mm] (cos\phi+isin\phi)*(cos\phi+isin\phi)=(cos\phi)^{2}+2*cos\phi*isin\phi-(sin\phi)^{2}
[/mm]
Ist denn [mm] (cos\phi)^{2}-(sin\phi)^{2}=1?
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:54 Di 19.04.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
1: z+w, w fest. die z liegen alle auf dem Einheitskreis., sie haben die länge 1 Welchen Abstand zu w haben dann alle Punkte w+z? wo liegen sie also?
im 2ten Teil wird nun jeder der Punkte die du durch w+z erreicht hast noch durch |w+z| geteilt. d.h. alle Längen von 0 aus gesehen auf die Länge 1 vekürzt., bzw verlängert. d.h. die ergebnisse müssen auf einem Stück einheitskreis um 0 liegen. welches stück das ist kriegst du aus ner Zeichnung raus.
>4) Beim Quadrieren gilt: $ [mm] (cos\phi+isin\phi)\cdot{}(cos\phi+isin\phi)=
[/mm]
[mm] >(cos\phi)^{2}+2\cdot{}cos\phi\cdot{}isin\phi-(sin\phi)^{2} [/mm] $
>Ist denn $ [mm] (cos\phi)^{2}-(sin\phi)^{2}=1? [/mm] $
Nein!$ [mm] (cos\phi)^{2}+(sin\phi)^{2}=1? [/mm] $
$ [mm] (cos\phi)^{2}-(sin\phi)^{2}=cos(2\phi)? [/mm] $
hast du denn 1) mal für ein w und 8 verschiedene z auf dem Kreis gezeichnet?
dann für w=1 die 2) und dann mal [mm] f^2 [/mm] geometrisch überlegt?
bis dann lula
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Zu 1) Die Punkte haben also zu w den Abstand 1? Liegen die dann alle auf dem Kreisrandund Nullpunkt? Außerhalb?
Und beim Teilen durch |z+w| bin ich also wieder drinne?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:07 Di 19.04.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich versteh deine Darstellung nicht. kannst du den geometrischen Ort aller Punkte von z+w in Abhängigkeit von w angeben, etwa [mm] w=(0.5,0.5*\wurzel{3}?
[/mm]
Irgenswie glaub ich nicht ,dass du dir das für 8 auf [mm] S^1 [/mm] verteilte z aufgezeichnet hast.
Gruss leduart
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Merci, das Zeichnen hat mich dann doch auf den richtigen Weg gebracht und mit Hilfe aus der Uni habs ich endlich gebacken bekommen :).
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