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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:57 Fr 07.12.2007 | | Autor: | side |
| Aufgabe | (a) Zeige, mithilfe des Quotientenkriteriums, dass für [mm] z\in\IC [/mm] die Reihe
[mm] exp(z):=\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{z^k}{k!} [/mm] absolut konvergiert.
(b) Beweise: [mm] exp(z)\cdot [/mm] exp(w)=exp(z+w) für z,w [mm] \in\IC
[/mm]
(c) Folgere für z [mm] \in\IC, m\in\IN [/mm] und r [mm] \in\IQ [/mm] :
(i) [mm] exp(mz)=exp(z)^m; [/mm] (ii) [mm] exp(-z)=exp(z)^{-1}; [/mm] (iii) [mm] exp(r)=e^r [/mm]
(e ist Eulersche Zahl) |
Bei Aufgabe a) weis ich ja, dass ich das Quot.Krit. anwenden soll, aber wie gehe ich das am Besten an?
Aufgabe b): Muss ich da einfach über das Produkt der Summe aus Aufgabe a) für z und w rechnen und dann umformen(zusammenfassen etc.? Hab gehört, dass hängt irgendwie mit dem Cauchy-Produkt zusammen, was genau muss ich damit machen?
Aufgabe c) Kann ich dass aus Aufgabe b) folgern oder was ist gemeint?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:16 Fr 07.12.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> (a) Zeige, mithilfe des Quotientenkriteriums, dass für
> [mm]z\in\IC[/mm] die Reihe
> [mm]exp(z):=\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{z^k}{k!}[/mm] absolut
> konvergiert.
> (b) Beweise: [mm]exp(z)\cdot[/mm] exp(w)=exp(z+w) für z,w [mm]\in\IC[/mm]
> (c) Folgere für z [mm]\in\IC, m\in\IN[/mm] und r [mm]\in\IQ[/mm] :
> (i) [mm]exp(mz)=exp(z)^m;[/mm] (ii) [mm]exp(-z)=exp(z)^{-1};[/mm]
> (iii) [mm]exp(r)=e^r[/mm]
> (e ist Eulersche Zahl)
> Bei Aufgabe a) weis ich ja, dass ich das Quot.Krit.
> anwenden soll, aber wie gehe ich das am Besten an?
Du schreibst die Reihe als [mm]\summe_{k=0}^{\infty} a_k[/mm] mit [mm]a_k= \bruch{z^k}{k!}[/mm] und setzt ein.
> Aufgabe b): Muss ich da einfach über das Produkt der Summe
> aus Aufgabe a) für z und w rechnen und dann
> umformen(zusammenfassen etc.? Hab gehört, dass hängt
> irgendwie mit dem Cauchy-Produkt zusammen, was genau muss
> ich damit machen?
Hast du dir die Formel für das Cauchy-Produkt schon angeschaut? Als Voraussetzung brauchst du die absolute Konvergenz, die du in (a) beweist. Dann setzt du wieder [mm]a_k[/mm] ein und benutzt den binomischen Lehrsatz.
> Aufgabe c) Kann ich dass aus Aufgabe b) folgern oder was
> ist gemeint?
Ja. Die Identität aus (b) ist die einzige für die Exponentialfunktion, alle anderen folgen daraus.
Viele Grüße
Rainer
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