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Forum "Uni-Komplexe Analysis" - komplexe Nullstellenbestimmung
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komplexe Nullstellenbestimmung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:25 Di 14.08.2007
Autor: lara.mil

Aufgabe
[mm] f(z) = z^{2}-(5+2i)z+10i [/mm]
Bestimme die Nullstellen der Funktion.

Ich hab versucht wie bei der pq-Formel vorzugehen, hat aber leider garnicht geklappt.
Gibt es irgendein Trick komplexe Nullstellen zu finden?

Vielen Dank!!
        
Bezug
komplexe Nullstellenbestimmung: Wie weit?
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:29 Di 14.08.2007
Autor: Roadrunner

Hallo lara.mil!


Wie weit bist Du denn mit der MBp/q-Formel gekommen? Der  Ansatz ist gar nicht so schlecht.

Allerdings musst Du dann noch aus einer komplexen Zahl die Wurzel ziehen. Dafür kannst du dann z.B. die []MOIVRE-Fromel anwenden.


Gruß vom
Roadrunner

Bezug
                
Bezug
komplexe Nullstellenbestimmung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:10 Di 14.08.2007
Autor: lara.mil

genau die Wurzel war das Problem:

[mm] \bruch{5+2i}{2} [/mm] +/- [mm] \wurzel{\bruch{(5+2i)^{2}}{2}-10i} [/mm]
= [mm] \bruch{5+2i}{2} [/mm] +/- [mm] \wurzel{\bruch{21}{4}-5i} [/mm]

und hier wußte ich nicht weiter.
Bezug
                        
Bezug
komplexe Nullstellenbestimmung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:29 Di 14.08.2007
Autor: leduart

Hallo
[mm] z=a+ib=r*e^{i\phi} [/mm] mit r=|z| [mm] tan\phi=b/a [/mm]
[mm] \wurzel{z}=\wurzel{r*e^{i\phi}}=\wurzel{r}*e^{i\phi/2} [/mm]
eventuell zurückverwandeln in a+ib
Ist das klar?
Gruss leduart

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Bezug
komplexe Nullstellenbestimmung: anders aufschreiben
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:15 Di 14.08.2007
Autor: Herby

Hallo,


> genau die Wurzel war das Problem:
>  
> [mm]\bruch{5+2i}{2}[/mm] +/- [mm]\wurzel{\bruch{(5+2i)^{2}}{\red{4}}-10i}[/mm]

Tippfehler ;-)

>  = [mm]\bruch{5+2i}{2}[/mm] +/- [mm]\wurzel{\bruch{21}{4}-5i}[/mm]
>  
> und hier wußte ich nicht weiter.


du kannst doch den Klammerausdruck anders notieren:



[mm] \bruch{5+2i}{2}\pm\wurzel{\bruch{(5+2i)^{2}}{4}-10i} [/mm]

[mm] =\bruch{5+2i}{2}\pm\wurzel{\bruch{25\blue{+}20i+(2i)^2}{4}-\bruch{40i}{4}} [/mm]

[mm] =\bruch{5+2i}{2}\pm\wurzel{\bruch{25\blue{-}20i+(2i)^2}{4}} [/mm]

[mm] =\bruch{5+2i}{2}\pm\wurzel{\bruch{(5-2i)^2}{4}} [/mm]

[mm] =\bruch{5+2i}{2}\pm\bruch{\wurzel{(5-2i)^2}}{2} [/mm]


[mm] z_{1,2}=\bruch{5+2i}{2}\pm\bruch{5-2i}{2} [/mm]


Moivre geht aber auch mit r=29 und [mm] \varphi=5,5222 [/mm]  :-)


Liebe Grüße
Herby




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komplexe Nullstellenbestimmung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:01 Di 14.08.2007
Autor: lara.mil

Vielen vielen Dank!
Das hat mir sehr geholfen!
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