komplexe Mengen skizzieren < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Skizzieren Sie folgende Mengen in der Gauß’schen Zahlenebene:
a) [mm] \{z\in\IC| |z|\le{3}\} [/mm] ; [mm] \{z\in\IC| |z+1|\le{4}\}
[/mm]
b) [mm] \{z\in\IC| z+\overline{z}=1\}
[/mm]
c) [mm] \{z\in\IC| |z+1-i|=|z-1|\} [/mm] |
a)
Ich hätte die Menge
[mm] |z|\le{3}
[/mm]
als kreis mit dem Radius 3 am Uhrsprung gezeichnet. Alles innerhalb des kreises gehört dann zur dieser menge.
Wäre das richtig?
Was mache ich nun mit der menge [mm] |z+1|\le{4} [/mm] ?
Mich stört der Summand 1
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:23 Do 24.03.2016 | | Autor: | Fulla |
> Skizzieren Sie folgende Mengen in der Gauß’schen
> Zahlenebene:
>
> a) [mm]\{z\in\IC| |z|\le{3}\}[/mm] ; [mm]\{z\in\IC| |z+1|\le{4}\}[/mm]
>
> b) [mm]\{z\in\IC| z+\overline{z}=1\}[/mm]
>
> c) [mm]\{z\in\IC| |z+1-i|=|z-1|\}[/mm]
> a)
>
> Ich hätte die Menge
>
> [mm]|z|\le{3}[/mm]
>
> als kreis mit dem Radius 3 am Uhrsprung gezeichnet. Alles
> innerhalb des kreises gehört dann zur dieser menge.
>
> Wäre das richtig?
Hallo Rebellismus,
ja, das stimmt. Aber der Rand des Kreises gehört auch noch zu dieser Menge.
> Was mache ich nun mit der menge [mm]|z+1|\le{4}[/mm] ?
>
> Mich stört der Summand 1
Vergleiche mal mit dem reellen Fall. Die Menge [mm]\{ x\in\mathbb R\ |\ |x|\le 4\}[/mm] ist dann kein Kreis mehr, sondern ein Intervall, nämlich [mm][-4; 4][/mm].
Wie sieht [mm]\{ x\in\mathbb R\ |\ |x+1|\le 4\}[/mm] aus?
Wie sieht [mm]\{ z\in\mathbb C\ |\ |z+1|\le 4\}[/mm] aus?
Lieben Gruß,
Fulla
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Hallo,
> Vergleiche mal mit dem reellen Fall. Die Menge [mm]\{ x\in\mathbb R\ |\ |x|\le 4\}[/mm]
> ist dann kein Kreis mehr, sondern ein Intervall, nämlich
> [mm][-4; 4][/mm].
>
> Wie sieht [mm]\{ x\in\mathbb R\ |\ |x+1|\le 4\}[/mm] aus?
Das Intervall wäre dann [-5,3]
Der Intervall ist um -1 verschoben
> Wie sieht [mm]\{ z\in\mathbb C\ |\ |z+1|\le 4\}[/mm] aus?
Das wäre dann ein kreis mit dem radius 4, aber der Mittelpunkt ist nicht (0,0) sondern (-1,0)
Das heißt der Summand 1 beeinflusst nur die reelle Achse und hat keinen Einfluss auf die imaginäre Achse
b)
[mm] z+\overline{z}=1
[/mm]
x+iy+x-iy=1
2x=1
[mm] x=\bruch{3}{4}
[/mm]
das heißt die Menge [mm] \{z\in\IC| z+\overline{z}=1\} [/mm] ist weder ein Kreis noch ein Intervall sondern der Punkt [mm] x=\bruch{3}{4}
[/mm]
stimmt das alles soweit?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:38 Do 24.03.2016 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
>
> > Vergleiche mal mit dem reellen Fall. Die Menge [mm]\{ x\in\mathbb R\ |\ |x|\le 4\}[/mm]
> > ist dann kein Kreis mehr, sondern ein Intervall, nämlich
> > [mm][-4; 4][/mm].
> >
> > Wie sieht [mm]\{ x\in\mathbb R\ |\ |x+1|\le 4\}[/mm] aus?
>
> Das Intervall wäre dann [-5,3]
ja
>
> Der Intervall ist um -1 verschoben
>
> > Wie sieht [mm]\{ z\in\mathbb C\ |\ |z+1|\le 4\}[/mm] aus?
>
> Das wäre dann ein kreis mit dem radius 4, aber der
> Mittelpunkt ist nicht (0,0) sondern (-1,0)
ja
> Das heißt der Summand 1 beeinflusst nur die reelle Achse
> und hat keinen Einfluss auf die imaginäre Achse
>
> b)
>
> [mm]z+\overline{z}=1[/mm]
>
> x+iy+x-iy=1
>
> 2x=1
>
> [mm]x=\bruch{3}{4}[/mm]
Nein, sondern x=1/2
Fred
>
> das heißt die Menge [mm]\{z\in\IC| z+\overline{z}=1\}[/mm] ist
> weder ein Kreis noch ein Intervall sondern der Punkt
> [mm]x=\bruch{3}{4}[/mm]
>
> stimmt das alles soweit?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:04 Do 24.03.2016 | | Autor: | Fulla |
> das heißt die Menge [mm]\{z\in\IC| z+\overline{z}=1\}[/mm] ist
> weder ein Kreis noch ein Intervall sondern der Punkt
> [mm]x=\red{\bruch{1}{2}}[/mm]
>
> stimmt das alles soweit?
Nein, bei der Menge handelt es sich nicht um nur einen Punkt. Was weißt du denn über den Imaginärteil von z, wenn [mm]z+\overline z =1[/mm] gilt?
Lieben Gruß,
Fulla
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> Nein, bei der Menge handelt es sich nicht um nur einen
> Punkt. Was weißt du denn über den Imaginärteil von z,
> wenn [mm]z+\overline z =1[/mm] gilt?
>
ich komm nicht drauf. Über den imaginärteil von z weiß ich nichts, weil der durch die konjugiert komplexe zahl verschwindet.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 05:43 Fr 25.03.2016 | | Autor: | Fulla |
>
> >
> > Nein, bei der Menge handelt es sich nicht um nur einen
> > Punkt. Was weißt du denn über den Imaginärteil von z,
> > wenn [mm]z+\overline z =1[/mm] gilt?
> >
>
> ich komm nicht drauf. Über den imaginärteil von z weiß
> ich nichts, weil der durch die konjugiert komplexe zahl
> verschwindet.
Eben.
Du hast ausgerechnet, dass für [mm]z=x+iy[/mm] gelten muss [mm]x=\frac 12[/mm]. [mm]y[/mm] tauchte am Ende nicht mehr auf. Das heißt, solang [mm]x=\frac 12[/mm] gilt, passt es. y (der Imaginärteil) spielt also keine Rolle. Genauer: Jede Zahl [mm]z=\frac 12+iy[/mm] ist Teil dieser Menge.
Wie sieht die Menge also aus?
Lieben Gruß,
Fulla
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Die rote Linie ist die menge
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:37 Fr 25.03.2016 | | Autor: | Fulla |
Genau ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:24 Do 24.03.2016 | | Autor: | mythos2288 |
Da ist Re(z) = x+1, Im(z) = y,
aber Achtung: M(-1/0), weil der Kreis nach links zu verschieben ist
Zur Kontrolle: Bilde erneut den Betrag
mYthos
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Wie bestimme ich die menge von aufgabe c) ?
mein Ansatz wäre:
|z+1-i|=|z-1|
|x+1+i(y-1)|=|x-1+iy|
[mm] \wurzel{(x+1)^2+(y-1)^2}=\wurzel{(x-1)^2+y^2}
[/mm]
[mm] x^2+2x+1+y^2-2y+1=x^2-2x+1+y^2
[/mm]
4x+1-2y=0
Wie mache ich nun weiter? oder ist das der falsche Ansatz?
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Dein Ergebnis stimmt. Man kann sich das auch ohne jede Rechnung überlegen:
[mm]\left| z - 1 \right| = \text{Abstand von} \ z \ \text{zu} \ 1[/mm]
[mm]\left| z + 1 - \operatorname{i} \right| = \left| z - \left( -1 + \operatorname{i} \right) \right| = \text{Abstand von} \ z \ \text{zu} \ -1 + \operatorname{i}[/mm]
[mm]\left| z - 1 \right| = \left| z + 1 - \operatorname{i} \right|[/mm]
[mm]\Leftrightarrow \ \ \text{der Abstand von} \ z \ \text{zu} \ 1 \ \text{und zu} \ -1 + \operatorname{i} \ \text{ist derselbe}[/mm]
Die Punkte, die von zwei vorgegebenen Punkten der Zeichenebene denselben Abstand besitzen, sind die Punkte der Symmetrieachse (Mittelsenkrechten) der Verbindungsstrecke der beiden Punkte.
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Hallo,
> Dein Ergebnis stimmt. Man kann sich das auch ohne jede
> Rechnung überlegen:
Aber meine Rechnung hilft mir nicht weiter oder? zumindest sehe ich nicht wie mir die Rechnung weiter hilft
> [mm]\left| z - 1 \right| = \text{Abstand von} \ z \ \text{zu} \ 1[/mm]
>
> [mm]\left| z + 1 - \operatorname{i} \right| = \left| z - \left( -1 + \operatorname{i} \right) \right| = \text{Abstand von} \ z \ \text{zu} \ -1 + \operatorname{i}[/mm]
>
> [mm]\left| z - 1 \right| = \left| z + 1 - \operatorname{i} \right|[/mm]
>
> [mm]\Leftrightarrow \ \ \text{der Abstand von} \ z \ \text{zu} \ 1 \ \text{und zu} \ -1 + \operatorname{i} \ \text{ist derselbe}[/mm]
Okay das verstehe ich.
> Die Punkte, die von zwei vorgegebenen Punkten der
> Zeichenebene denselben Abstand besitzen, sind die Punkte
> der Symmetrieachse (Mittelsenkrechten) der
> Verbindungsstrecke der beiden Punkte.
Das habe ich leider nicht verstanden
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:20 Do 24.03.2016 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> > Dein Ergebnis stimmt. Man kann sich das auch ohne jede
> > Rechnung überlegen:
>
> Aber meine Rechnung hilft mir nicht weiter oder? zumindest
> sehe ich nicht wie mir die Rechnung weiter hilft
>
>
> > [mm]\left| z - 1 \right| = \text{Abstand von} \ z \ \text{zu} \ 1[/mm]
>
> >
> > [mm]\left| z + 1 - \operatorname{i} \right| = \left| z - \left( -1 + \operatorname{i} \right) \right| = \text{Abstand von} \ z \ \text{zu} \ -1 + \operatorname{i}[/mm]
>
> >
> > [mm]\left| z - 1 \right| = \left| z + 1 - \operatorname{i} \right|[/mm]
>
> >
> > [mm]\Leftrightarrow \ \ \text{der Abstand von} \ z \ \text{zu} \ 1 \ \text{und zu} \ -1 + \operatorname{i} \ \text{ist derselbe}[/mm]
>
> Okay das verstehe ich.
>
>
> > Die Punkte, die von zwei vorgegebenen Punkten der
> > Zeichenebene denselben Abstand besitzen, sind die Punkte
> > der Symmetrieachse (Mittelsenkrechten) der
> > Verbindungsstrecke der beiden Punkte.
>
> Das habe ich leider nicht verstanden
Du hast den Punkt $(1,0) [mm] \in \IR^2$ [/mm] (das ist $1=1+0*i [mm] \in \IC$) [/mm] und den Punkt $(-1,1) [mm] \in \IR^2$
[/mm]
(das ist der Punkt $-1+1*i [mm] \in \IC$).
[/mm]
Verbinde diese, also bilde die Strecke mit den beiden Endpunkten.
HINWEIS: Diese ist Teil der Geraden
[mm] $\{(a,b) \in \IR^2:\;\; b=\green{(-1/2)}*a+\,1/2\}$
[/mm]
[mm] ($(\star)$ [/mm] Schulsprache: Geradengleichung [mm] $y=\green{(-1/2)}*x+\,1/2$)
[/mm]
Bestimme die zugehörige Mittelsenkrechte dieser Strecke; diese Mittelsenkrechte
ist die gesuchte Menge!
Zur Kontrolle:
Du hattest die gesuchte Menge "mit der Geradengleichung"
[mm] $y=\red{2}x+\,1/2$
[/mm]
errechnet.
Algebraische Tests: Die "Steigung der Strecke" war $-1/2$. Eine Gerade, die senkrecht
darauf steht, muss erfüllen, dass das Produkt der Steigungen -1 ergibt:
[mm] $\red{2}*\green{(-1/2)}$
[/mm]
ist tatsächlich -1.
Die "Mittelsenkrechtgerade" muss zudem den Punkt
$((1,0)+(-1,1))/2=(0,1/2) [mm] \in \IR^2$
[/mm]
enthalten.
Setze in [mm] $(\star)$ [/mm] $x=0$ ein, und Du erhältst $y=1/2$. Das bestätigt Deine Rechnung;
bzw. man sieht hier auch: Geometrie und "Algebra" sind im Einklang
miteinander. 
Gruß,
Marcel
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Hallo,
die gesuchte Menge ist also alle Punkte auf der Gerade, die ich ja schon bestimmt habe:
[mm] y=2x+\bruch{1}{2}
[/mm]
richtig?
Ich bin mir nicht sicher ob ich die Alternative Lösung mit der Mittelsenkrechte verstanden habe.
Die Gleichung |z-1|=|z+1-i| sagt aus das der Abstand zwischen z und den Punkt (1,0) der gleiche ist wie der Abstand zwischen z und den Punkt (-1,i).
Also ist die gesuchte menge die Mittelsenkrechte zwischen den Punkten (-1,0) und (-1,i).
> Du hast den Punkt $ (1,0) [mm] \in \IR^2 [/mm] $ (das ist $ [mm] 1=1+0\cdot{}i \in \IC [/mm] $)
> und den Punkt $ (-1,1) [mm] \in \IR^2 [/mm] $
> (das ist der Punkt $ [mm] -1+1\cdot{}i \in \IC [/mm] $).
>
> Verbinde diese, also bilde die Strecke mit den beiden
> Endpunkten.
Das habe ich getan (die Strecke ist in blau dargestellt):
[Dateianhang nicht öffentlich]
> Bestimme die zugehörige Mittelsenkrechte dieser Strecke;
> diese Mittelsenkrechte ist die gesuchte Menge!
Ich habe die Mittelsenkrechte durch 2 kreise bestimmt und die gerade, die durch die schnittpunkte geht, ist die Mittelsenkrechte (Gelbe Linie). So bestimmt man doch die Mittelsenkrechte oder geht das einfacher?
[Dateianhang nicht öffentlich]
So jetzt muss ich die Mittelsenkrechte noch mathematisch ausdrücken. Das kann man mit dem Bild nicht so gut machen, weil die werte schwer abzulesen sind. so ist zum beispiel schwer die steigung zu bestimmen.
Die mittelsenkrechte müsste aber der gleichung [mm] y=2x+\bruch{1}{2} [/mm] entsprechen oder?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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> Hallo,
>
> die gesuchte Menge ist also alle Punkte auf der Gerade, die
> ich ja schon bestimmt habe:
>
> [mm]y=2x+\bruch{1}{2}[/mm]
Hallo,
ja, genau.
>
> richtig?
>
>
> Ich bin mir nicht sicher ob ich die Alternative Lösung mit
> der Mittelsenkrechte verstanden habe.
>
> Die Gleichung |z-1|=|z+1-i| sagt aus das der Abstand
> zwischen z und den Punkt (1,0) der gleiche ist wie der
> Abstand zwischen z und den Punkt (-1,i).
Ja.
>
> Also ist die gesuchte menge die Mittelsenkrechte zwischen
> den Punkten (-1,0) und (-1,i).
Die Mittelenkrechte auf der Verbindungsstrecke der Punkte (-1,0) und (-1,1) des [mm] \IR^2, [/mm] welche -1 und -1+i aus [mm] \IC [/mm] entsprechen.
>
> > Du hast den Punkt [mm](1,0) \in \IR^2[/mm] (das ist [mm]1=1+0\cdot{}i \in \IC [/mm])
>
> > und den Punkt [mm](-1,1) \in \IR^2[/mm]
> > (das ist der Punkt
> [mm]-1+1\cdot{}i \in \IC [/mm]).
> >
> > Verbinde diese, also bilde die Strecke mit den beiden
> > Endpunkten.
>
> Das habe ich getan (die Strecke ist in blau dargestellt):
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
>
> > Bestimme die zugehörige Mittelsenkrechte dieser Strecke;
> > diese Mittelsenkrechte ist die gesuchte Menge!
>
> Ich habe die Mittelsenkrechte durch 2 kreise bestimmt und
> die gerade, die durch die schnittpunkte geht, ist die
> Mittelsenkrechte (Gelbe Linie). So bestimmt man doch die
> Mittelsenkrechte oder geht das einfacher?
Du hast die Mittelsenkrechte richtig konstruiert.
Ihre Gleichung bekommst Du so:
rechne aus, welcher Punkt in der Mitte zwischen (-1,0) und (-1,1) liegt.
Damit hast Du einen Punkt der gesuchten Gerade.
Berechne die Steigung m der Geraden durch (-1,0) und (-1,1) : m=\bruch{-1-(-1)}{0-1).
Für die Steigung m_n der Normalen gilt: m*m_n=-1.
LG Angela
>
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> So jetzt muss ich die Mittelsenkrechte noch mathematisch
> ausdrücken. Das kann man mit dem Bild nicht so gut machen,
> weil die werte schwer abzulesen sind. so ist zum beispiel
> schwer die steigung zu bestimmen.
>
> Die mittelsenkrechte müsste aber der gleichung
> [mm]y=2x+\bruch{1}{2}[/mm] entsprechen oder?
>
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:06 Do 24.03.2016 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Wie bestimme ich die menge von aufgabe c) ?
>
> mein Ansatz wäre:
>
> |z+1-i|=|z-1|
ich rechne mal mit: das ist gleichwertig zu
$=|x+iy+1-i|=|x+iy-1|$
> |x+1+i(y-1)|=|x-1+iy|
> [mm]\wurzel{(x+1)^2+(y-1)^2}=\wurzel{(x-1)^2+y^2}[/mm]
Wie wäre die Verwendung von [mm] $\iff$, [/mm] sofern angebracht. Manchmal darf man auch
nur [mm] $\Rightarrow$ [/mm] verwenden - hier ist das bei Dir allerdings kein Problem, weil...?
Also:
[mm] $\iff$
[/mm]
> [mm]x^2+2x+1+y^2-2y+1=x^2-2x+1+y^2[/mm]
[mm] \iff
[/mm]
> 4x+1-2y=0
>
> Wie mache ich nun weiter? oder ist das der falsche Ansatz?
Löse mal nach y auf und erinnere Dich an Geradengleichungen
$y=mx+b$
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:51 Do 24.03.2016 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Skizzieren Sie folgende Mengen in der Gauß’schen
> Zahlenebene:
>
> a) [mm]\{z\in\IC| |z|\le{3}\}[/mm] ; [mm]\{z\in\IC| |z+1|\le{4}\}[/mm]
> Ich hätte die Menge
>
> [mm]|z|\le{3}[/mm]
>
> als kreis mit dem Radius 3 am Uhrsprung gezeichnet. Alles
> innerhalb des kreises gehört dann zur dieser menge.
>
> Wäre das richtig?
>
> Was mache ich nun mit der menge [mm]|z+1|\le{4}[/mm] ?
>
> Mich stört der Summand 1
abgesehen davon, dass man auch einfach erstmal
[mm] $\tilde{z}:=z+1$
[/mm]
substituieren könnte: Warum rechnet hier eigentlich niemand das Ganze so
vor, dass man es wenigstens mit Schulwissen abgleichen könnte?
Allgemein:
[mm] $K_R(z_0):=\{z \in \IC:\;\; |z-z_0| \le R\}$
[/mm]
ist der (abgeschlossene) Kreis (also Kreislinie inklusive) mit Mittelpunkt [mm] $z_0$ [/mm] und
Radius $R [mm] \ge [/mm] 0$ (für [mm] $R=0\,$ [/mm] reduziert sich das auf die einpunktige Menge [mm] $z_0$).
[/mm]
Im Folgenden setzen wir [mm] $x_0:=\text{re}(z_0)$, $y_0:=\text{im}(z_0)$ [/mm] und [mm] $x:=\text{re}(z)$
[/mm]
sowie [mm] $y:=\text{im}(z)$.
[/mm]
Dann gilt
$z [mm] \in K_R(z_0)$
[/mm]
[mm] $\iff$ $|z-z_0| \le [/mm] R$
[mm] $\iff$ $|x+iy-(x_0+iy_0)| \le [/mm] R$
[mm] $\iff$ $|(x-x_0)+i*(y-y_0)| \le [/mm] R$
[mm] $\iff$ $\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2} \le [/mm] R$
[mm] $\iff$ $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2 \le R^2$.
[/mm]
Die Menge
[mm] $T:=\{(x,y) \in \IR^2:\;\;(x-x_0)^2+(y-y_0)^2 \le R^2\}$
[/mm]
sollte aus der Schule als der abgeschlossene Kreis mit MP [mm] $(x_0,y_0)$ [/mm] und Radius
[mm] $R\,$ [/mm] bekannt sein (Pythagoras).
Obige Rechnung zeigt:
Wegen den Folgerungen [mm] $\Rightarrow$ [/mm] gilt [mm] $K_R(z_0) \subseteq [/mm] T$ - und wegen
den Folgerungen [mm] $\Leftarrow$ [/mm] gilt $T [mm] \subseteq K_R(z_0)$.
[/mm]
Man beachte dabei die Identifikation
[mm] $\IC=\{a+ib:\;\; a,b \in \IR\}$
[/mm]
mit
[mm] $\IR^2=\{(x,y):\;\; x,y \in \IR\}$.
[/mm]
Daher sieht man nun sofort, indem man schreibt:
[mm] $\{z \in \IC:\;\; |z+1| \le 1\}=\{z \in \IC:\;\; |z-\blue{(-1)}| \le \red{1}\}$;
[/mm]
dass hier [mm] $z_0=\blue{-1}$ [/mm] und [mm] $R=\red{1}$ [/mm] ist.
P.S. In [mm] $\IC$ [/mm] kannst Du bzgl. [mm] $+\,$ [/mm] und [mm] $-\,$ [/mm] "vektoriell" rechnen, wie Du es aus
dem [mm] $\IR^2$ [/mm] "von der Anschauung her"gewohnt bist.
Damit meine ich bspw.:
Wenn Du $|(2+i3)-(5+i7)|$ berechnen sollst:
[mm] $\vektor{2\\3}-\vektor{5\\7}=\vektor{-3\\-4}$
[/mm]
Und daher
[mm] $|(2+i3)-(5+i7)|=\left|\vektor{2\\3}-\vektor{5\\7}\right|=\left|\vektor{-3\\-4}\right|=\left\|\vektor{-3\\-4}\right\|_2=\sqrt{(-3)^2+(-4)^2}=5$
[/mm]
Kennst Du sicher alles: Diese Norm/Längenberechnung ist der Anschauung
entnommen und benutzt den Satz des Pythagoras (Schulversion).
Gruß,
Marcel
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