komplexe Gleichung umformen < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:37 Do 17.11.2011 | | Autor: | elmanuel |
| Aufgabe | [mm] z^2-(7+2i)z+12+8i=0
[/mm]
= (z-?)(z-?)=0 |
Hallo liebe Gemeinde!
Ich hab die Gleichung auf hartem Weg gelöst und hab die Lösungen z1=4 und z2=3+2i
Jetzt hab ich mir überlegt ob ich da nicht einfach hätte herausheben können und die Lösungen so einfacher zu erhalten...
ich habe also
[mm] z^2-(7+2i)z+12+8i=0
[/mm]
[mm] z^2-7z-2iz+12+8i=0
[/mm]
[mm] z^2-3z-2iz-4z+12+8i=0
[/mm]
(z-4)(z-(3+2i))=0
und da könnte ich die Lösungen ja ablesen ...
gibt es da eine Möglichkeit das ich in der [mm] z^2-3z-2iz-4z+12+8i=0 [/mm] mittels Polynomdivision durch eben (z-4) dividiere und dann auf die Lösung (z-(3+2i)) komme... kann man das irgendwie einfach sehen durch was ich dividieren muss um zur Lösung zu kommen?
Oder dient mir das nur zur Kontrolle
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:54 Do 17.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> [mm]z^2-(7+2i)z+12+8i=0[/mm]
> = (z-?)(z-?)=0
> Hallo liebe Gemeinde!
>
> Ich hab die Gleichung auf hartem Weg
..... was ist denn der harte Weg .. ?
> gelöst und hab die
> Lösungen z1=4 und z2=3+2i
>
> Jetzt hab ich mir überlegt ob ich da nicht einfach hätte
> herausheben können und die Lösungen so einfacher zu
> erhalten...
>
> ich habe also
>
> [mm]z^2-(7+2i)z+12+8i=0[/mm]
> [mm]z^2-7z-2iz+12+8i=0[/mm]
> [mm]z^2-3z-2iz-4z+12+8i=0[/mm]
> (z-4)(z-(3+2i))=0
> und da könnte ich die Lösungen ja ablesen ...
Donnerwetter !! Um von der 2. Gleichung auf die 3. Gl. zu kommen und dann noch auf die 4., da braucht man schon ein gutes Auge.
Respekt.
>
> gibt es da eine Möglichkeit das ich in der
> [mm]z^2-3z-2iz-4z+12+8i=0[/mm] mittels Polynomdivision durch eben
> (z-4) dividiere und dann auf die Lösung (z-(3+2i))
> komme...
Klar, das funktioniert wie gewohnt.
> kann man das irgendwie einfach sehen durch was ich
> dividieren muss um zur Lösung zu kommen?
Meist nicht.
FRED
>
> Oder dient mir das nur zur Kontrolle
>
>
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> [mm]z^2-(7+2i)z+12+8i=0[/mm]
> = (z-?)(z-?)=0
> gibt es da eine Möglichkeit dass ich in der
> [mm]z^2-3z-2iz-4z+12+8i=0[/mm] mittels Polynomdivision durch eben
> (z-4) dividiere und dann auf die Lösung (z-(3+2i))
> komme... kann man das irgendwie einfach sehen durch was ich
> dividieren muss um zur Lösung zu kommen?
Polynomdivision funktioniert auch bei solchen Ausdrücken.
Die Hauptsache ist aber hier, zunächst einmal herauszu-
finden, durch welchen Term der Form (z-(u+i*v)) man
überhaupt dividieren soll. Das heißt mit anderen Worten,
man müsste eine der möglichen Lösungen schon kennen.
Bei quadratischen Gleichungen mit ganzzahligen reellen
Koeffizienten und Lösungen ist es oft recht leicht, eine
Lösung zu "erraten" und damit weiterzukommen.
Mit entsprechenden Fähigkeiten im Bereich der kom-
plexen Zahlen sind aber wohl nur ganz wenige besondere
Rechenkünstler begabt.
N.B.: Falls du uns deinen "harten" Lösungsweg noch vor-
führst, können wir dir dazu aber eventuell eine
angenehmere Variante anbieten ...
LG Al-Chw.
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Hallo elmanuel,
meist sieht man die Lösung solcher Gleichungen nicht. Wenn man Glück hat und eine freundliche Übungsaufgabe (wie hier), dann mag es helfen, nur den Real- oder nur den Imaginärteil zu betrachten und dessen Lösung dann für den anderen Anteil zu überprüfen. Das funktioniert natürlich nur, wenn es eine rein reelle oder eine rein imaginäre Lösung gibt.
Das ist hier aber der Fall:
> [mm]z^2-(7+2i)z+12+8i=0[/mm]
> = (z-?)(z-?)=0
Nehmen wir erst einmal ein rein imaginäres z an, also z=ai.
Dann folgt [mm] -a^2-7ai+2a+12+8i=0. [/mm] Aus dem Imaginärteil gewinnt man [mm] a=\bruch{8}{7} [/mm] und mit dieser Lösung geht der Realteil nicht auf. Naja, wir wussten ja schon, dass dieser Versuch nicht klappt.
Also rein reelles z, z=b.
Es folgt [mm] b^2-7b-2bi+12+8i=0. [/mm] Aus dem Imaginärteil gewinnt man b=4, und das löst auch den Realteil.
Ab da Division.
Wie gesagt, im Normalfall klappt es nicht, aber diese beiden Annahmen durchzuversuchen, lohnt sich trotzdem erstaunlich oft und kostet ja fast keine Zeit.
Der harte Weg war der Ansatz z=x+yi, nehme ich an, oder?
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:25 Do 17.11.2011 | | Autor: | elmanuel |
Dankeschön fred, al chwarizmi und vor allem reverend!
ich habe nämlich den verdacht das bei unserer Prüfung eine komplexe Gleichung derart kommen wird daß eine Lösung rein ieal oder imaginär sein wird (war bei den alten tests immer so)...
ich habe die Gleichung auf dem "harten" :) Weg gelöst:
zuerst wie normale gleichung dann hab ich raus
[mm] z_{1,2}=\frac{7+2i \pm \wurzel{-3-4i}}{2}
[/mm]
dann über den ansatz :
wurzel{-3-4i}=(a+ib)
komme ich auf:
I: [mm] a^2-b^2=-3
[/mm]
und
II: [mm] a=\frac{-2}{b}
[/mm]
dieses Gleichungssystem liefert:
[mm] b^4-3b-4=0
[/mm]
mit Biquadratischer Gleichung komme ich auf:
[mm] b{1,2}=\pm [/mm] 2 ( und [mm] b{3,4}=\pm [/mm] i )
in II eringesetzt erhalte ich:
[mm] a{1,2}=\pm [/mm] 1
also entweder a=-1 und b=2 oder a=1 und b=-2
also
[mm] \wurzel{-3-4i}=\pm [/mm] (1-2i)
also
[mm] z{1,2}=\frac{7+2i \pm (1-2i)}{2}
[/mm]
also z{1}=4 und z{2}=3+2i
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Reverends Weg war nun DEUTLICH schneller!
wäre aber natürlich auch für Tipps bezüglich Gleichungen wo es keine rein reele oder komplexe Lösung gibt dankbar!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:01 Do 17.11.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo elmanuel,
das meinte ich: wenn man auf diesem Weg eine Lösung findet, ist man unglaublich schnell fertig. Wenn man keine findet, hat man nicht viel Zeit verloren. Das gilt es gegeneinander abzuwägen.
Übungs- und Klausuraufgaben dienen dazu, den Umgang mit dem Thema zu schulen bzw. zu prüfen. Deswegen nimmt man als Aufgabensteller etwas, das nicht sofort zu durchschauen ist, aber noch mit vertretbarem Aufwand zu lösen.
Eine quadratische Gleichung im Komplexen wird aber schnell mühsam, wenn die Lösungen [mm] z_1=a+bi [/mm] und [mm] z_2=c+di [/mm] mit [mm] abcd\not=0 [/mm] sind. Dann muss man tatsächlich durch alle Schritte Deines ersten Lösungswegs gehen oder alternativ eben ein nichtlineares Gleichungssystem mit vier Variablen (a,b,c,d) lösen.
Außer Gleichungen wie der hier vorliegenden gibt es noch einen zweiten, der bei Klausuraufgaben gern vorkommt: die binomische Formel im Komplexen. Das sieht dann so aus: [mm] z_{1/2}=x+yi
[/mm]
[mm] \Rightarrow\ (z-(x+yi))^2=(z-(x+yi))(z-(x+yi))=z^2-2(x+yi)z+x^2-y^2+2xyi
[/mm]
Wenn die Annahme, es gebe ein rein reelles oder rein imaginäres z nicht zum Erfolg führt, lohnt sich in Klausuren immer, auf ein Binom zu prüfen. Dazu betrachtet man die in z linearen Glieder, die (s.o.) ja dann [mm]-2(x+yi)z[/mm] sein müssten. Wenn das absolute (aber komplexe) Glied gerade [mm] (x+yi)^2 [/mm] ist, dann hat man die Lösung - wobei man wie im Reellen noch sichergehen sollte, ob denn z=x+yi eine (doppelte) Lösung ist oder z=-(x+yi).
Entsprechendes gilt für die dritte binomische Formel, aber die kannst Du Dir ja sicher selbst herleiten.
Wie gesagt, ist normalerweise nicht anderes zu erwarten als diese Fälle, die ja eigentlich Sonderfälle sind: ein rein reelles oder ein rein imaginäres z, oder aber eine der drei binomischen Formeln.
In einer Klausur kann einem diese Annahme richtig viel Zeit sparen. Dabei muss die Untersuchung nicht einmal auf einen Nebenrechnungszettel (den man ja sowieso meist mit abgeben muss); es ist ja nicht verwerflich, erst einmal die einfachen Fälle auszuschließen.
Grüße
reverend
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> Dankeschön fred, al chwarizmi und vor allem reverend!
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> ich habe nämlich den verdacht das bei unserer Prüfung
> eine komplexe Gleichung derart kommen wird daß eine
> Lösung rein ieal oder imaginär sein wird (war bei den
> alten tests immer so)...
>
> ich habe die Gleichung auf dem "harten" :) Weg gelöst:
>
> zuerst wie normale gleichung dann hab ich raus
> [mm]z_{1,2}=\frac{7+2i \pm \wurzel{-3-4i}}{2}[/mm]
>
> dann über den ansatz :
> wurzel{-3-4i}=(a+ib)
> komme ich auf:
>
> I: [mm]a^2-b^2=-3[/mm]
>
> und
>
> II: [mm]a=\frac{-2}{b}[/mm]
>
> dieses Gleichungssystem liefert:
>
> [mm]b^4-3b-4=0[/mm]
>
> mit Biquadratischer Gleichung komme ich auf:
>
> [mm]b{1,2}=\pm[/mm] 2 ( und [mm]b{3,4}=\pm[/mm] i )
>
> in II eringesetzt erhalte ich:
>
> [mm]a{1,2}=\pm[/mm] 1
>
> also entweder a=-1 und b=2 oder a=1 und b=-2
>
> also
>
> [mm]\wurzel{-3-4i}=\pm[/mm] (1-2i)
>
> also
>
> [mm]z{1,2}=\frac{7+2i \pm (1-2i)}{2}[/mm]
>
> also z{1}=4 und z{2}=3+2i
>
Hallo elmanuel,
grundsätzlich würde ich (im allgemeinen Fall) erst
einmal auch diesen Weg gehen. Zur Bestimmung
der Wurzel, hier also einer Zahl w mit [mm] w^2=-3-4i [/mm] ,
könnte man sich aber - falls ganzzahlige Lösungen
zu erwarten sind (und dies ist bei Schulbuchaufgaben
wirklich seeehr wahrscheinlich), kann man sich aber
mit einer einfachen Skizze in der Gaußschen Ebene
leicht einen Überblick verschaffen: -3-4i liegt im
3. Quadranten und hat den Betrag 5 (Pythagoras-
Tripel <3,4,5> !). Eine Lösung muss also im 2.
Quadranten liegen und den Betrag [mm] \sqrt{5} [/mm] (etwas größer
als 2) haben.
Aha: [mm] 5=2^2+1^2 [/mm] - und schwupps hat man eine
Lösung gefunden. Natürlich muss man dann rechnerisch
zeigen, dass diese halbwegs experimentell gefundene
Lösung auch wirklich passt !
Zum Exerzieren ein paar weitere Beispiele:
suche die (ganzzahlig komplexen) Lösungen w der
Gleichungen:
$\ [mm] w^2\ [/mm] =\ [mm] 8+6\,i$ [/mm]
$\ [mm] w^2\ [/mm] =\ [mm] 5-12\,i$
[/mm]
$\ [mm] w^2\ [/mm] =\ [mm] -7+24\,i$
[/mm]
(da stecken ganz gehörig pythagoräische Tripel drin,
ein Lieblingswerkzeug von Aufgabenstellern)
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:58 Fr 18.11.2011 | | Autor: | elmanuel |
meine bewunderung euch, die ihr das thema von allen seiten beleuchten könnt...
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
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