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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:43 Sa 05.11.2011 | | Autor: | Chris161 |
| Aufgabe | [mm] (z-i)^3= [/mm] -i
Bestimmen Sie alle komplexen Lösungen |
Ich möchte also das [mm] (z-i)^3 [/mm] ausrechnen um später Real und Imaginärteil gesondert betrachten zu können
also folgt
[mm] (z-i)^3= [/mm] -i
=> [mm] ((a+bi)-(0a+1i))^3 [/mm] = -i
also
[mm] (a+(b-1)i)^3 [/mm] = -i
das müsste doch wiederum
(a+(b-1)i)*(a+(b-1)i)*(a+(b-1)i)= -i
=> [mm] (a^2- (b-1)^2 [/mm] +2abi-2ai)*(a+(b-1)i)
also [mm] (a^2- b^2-2b+1 [/mm] +2abi-2ai)*(a+(b-1)i)
sein
aber irgendwie hab ich das gefühl das ich etwas falsch gemacht habe bzw. ich weiß nicht wie ich jetzt die linke Seite vereinfachen kann damit ich sie wieder mit der rechten Seite multiplizieren kann...
Ich hofffe was ich geschrieben habe ist einigermaßen nachvollziehbar...
Danke im Voraus für jede Antwort
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:02 Sa 05.11.2011 | | Autor: | Chris161 |
Ok danke...
aber mein Problem ist, dass ich die besagte Moivre Formel noch nicht hatte.
Da ich im ersten Semester MaBau und damit in der 3. Woche HM1 bin, bin ich geneigt zu glauben, dass es doch auch noch eine einfachere Möglichkeit geben muss diese Gleichung zu lösen.
Vor allem da die Teilaufgaben vor und nach dieser auch ohne einen solch extrem komplexen lösungsweg ausgekommen sind...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:31 Sa 05.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Habt ihr besprochen, wie man graphisch multipliziert? winkel asddieren beträge multiplizieren? oder die Formel [mm] r(cos\phi+isin\phi) [/mm] oder wenigstens die z in der Gaussschen Zahlenebene eingetragen? Dann gibts einfachere Wege.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:56 Sa 05.11.2011 | | Autor: | Chris161 |
also ich habe jetzt einen anderen Ansatz probiert
Ich habe die Gleichung in ihrer Grundform durchgerechnet
Polynomdivision durchgeführt und das Polynom 2ter Ordnung mit der Mitternachtsformel pq- Formel gelöst
Das müsste theoretisch ja auch passen oder?
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Hallo Chris161,
> also ich habe jetzt einen anderen Ansatz probiert
> Ich habe die Gleichung in ihrer Grundform durchgerechnet
> Polynomdivision durchgeführt und das Polynom 2ter Ordnung
> mit der Mitternachtsformel pq- Formel gelöst
> Das müsste theoretisch ja auch passen oder?
>
Ja.
Stelle Deine so erhaltenen Lösungen doch mal vor.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:29 Sa 05.11.2011 | | Autor: | Chris161 |
Meine Lösung wäre:
L= { [mm] -\wurzel{\bruch{3}{4}} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}i [/mm] ; [mm] \wurzel{\bruch{3}{4}} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}i [/mm] ; 2i }
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Chris161,
> Meine Lösung wäre:
>
>
> L= { [mm]-\wurzel{\bruch{3}{4}}[/mm] - [mm]\bruch{1}{2}i[/mm] ;
> [mm]\wurzel{\bruch{3}{4}}[/mm] - [mm]\bruch{1}{2}i[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
; 2i }
Die ersten beiden Lösung stimmen nicht ganz.
Hier muss der Imaginärteil dieser Lösungen positiv sein.
Gruss
MathePower
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> [mm](z-i)^3=[/mm] -i
>
> Bestimmen Sie alle komplexen Lösungen
> Ich möchte also das [mm](z-i)^3[/mm] ausrechnen um später Real
> und Imaginärteil gesondert betrachten zu können
> also folgt
>
> [mm](z-i)^3=[/mm] -i
>
> => [mm]((a+bi)-(0a+1i))^3[/mm] = -i
Hallo Chris161,
bei dieser Aufgabe machst du dir das Leben ganz unnö-
tigerweise schwer, wenn du [mm] (z-i)^3 [/mm] ausmultiplizierst !!
Setze doch vorläufig einfach einmal w:=z-i ,
löse dann die Gleichung [mm] w^3=-i [/mm] nach w auf (3 Lösungen)
und addiere dann zu jeder Lösung [mm] w_i [/mm] den Wert i, um den
zugehörigen Wert [mm] z_i [/mm] zu erhalten !
LG Al-Chw.
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