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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:11 Sa 01.08.2009 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren der folgenden hermiteschen Matrix:
A= [mm] \begin{pmatrix}
4 & 2i \\
-2i & 1
\end{pmatrix} [/mm] |
Hallo Zusammen,
Um die Eigenwerte der Matrix zu bestimmen, muss ich folgende berechen:
[mm] \begin{vmatrix}
4-\lambda & 2i \\
-2i & 1-\lambda
\end{vmatrix} [/mm] = 0
-> [mm] \lambda^2 -5\lambda [/mm] = 0
[mm] \lambda(\lambda-5) [/mm] = 0
[mm] \lambda_1 [/mm] = 0
[mm] \lambda_2 [/mm] = 5
Für [mm] \lambda_1 [/mm] = 0:
ergibt sich folgendes Gleichungssystem für die Eigenvektoren:
[mm] 4x_1+2ix_2 [/mm] = 0
[mm] -2ix_1+x_2 [/mm] = 0
Somit eine Variable frei wählbar [mm] x_2 [/mm] = [mm] \alpha \in \IR
[/mm]
[mm] 4x_1 [/mm] = -2i [mm] \alpha [/mm] -> [mm] x_1 [/mm] = [mm] -\bruch{1}{2}i \alpha
[/mm]
[mm] x_1 [/mm] = [mm] \alpha \begin{pmatrix} -\bruch{1}{2}i \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \alpha \begin{pmatrix} -i \\ 2 \end{pmatrix}
[/mm]
normiert: [mm] x_1 [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{5}} \begin{pmatrix} -i \\ 2 \end{pmatrix}
[/mm]
Für [mm] \lambda_2 [/mm] = 5:
ergibt sich folgendes Gleichungssystem für die Eigenvektoren:
[mm] -x_1+2ix_2 [/mm] = 0
[mm] -2ix_1-4x_2 [/mm] = 0
Somit eine Variable frei wählbar [mm] x_2 [/mm] = [mm] \alpha \in \IR
[/mm]
[mm] -x_1 +2ix_2 [/mm] = 0
[mm] x_1 [/mm] = 2i [mm] \apha
[/mm]
[mm] x_2 [/mm] = [mm] \alpha \begin{pmatrix} 2i \\ 1 \end{pmatrix} [/mm]
normiert: [mm] x_2 [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{5}} \begin{pmatrix} 2i \\ 1 \end{pmatrix}
[/mm]
Laut Lösung soll jedoch für die beiden Eigenvektoren folgendes herauskommen:
[mm] x_1 [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{5}} \begin{pmatrix} 1 \\ 2i \end{pmatrix}
[/mm]
[mm] x_2 [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{5}} \begin{pmatrix} 2i \\ 1 \end{pmatrix}
[/mm]
Wo liegt der Fehler bei meiner Rechnung? Oder sind die Lösung äquivalent und ich übersehe etwas?
Wenn ich mein Ergebnis [mm] x_1 [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{5}} \begin{pmatrix} -i \\ 2 \end{pmatrix} [/mm] mit i multipliziere erhalte ich die angegeben Lösung, jedoch ist [mm] \alpha \in \IR, [/mm] oder ist bei komplexen Matrizen für den Parameter die komplexen Zahlen zu wählen?
Grüße
itse
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> Wenn ich mein Ergebnis [mm]x_1[/mm] = [mm]\bruch{1}{\wurzel{5}} \begin{pmatrix} -i \\ 2 \end{pmatrix}[/mm]
> mit i multipliziere erhalte ich die angegeben Lösung,
Hallo,
ja, genau.
(Du bist hier im [mm] \IC^2 [/mm] über [mm] \IC.)
[/mm]
Gruß v. Angela
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