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| Aufgabe | [mm] f(x,y)=x^{2}+y^{2} [/mm] x,y [mm] \in \IR
[/mm]
Ist f komplex diffbar? |
Guten Abend!
Ich versuche mich zum ertsen Mal an der komplexen Analysis und wie zu erwarten war tun sich schon jetzt einige Probleme auf.. :s
Nun bei folgender Aufgabe, habe ich mir mal überlegt:
[mm] u(x,y)=x^{2}+y^{2} [/mm]
v(x.y)=0 <- da bin ich schon unsicher
Nun ist ja der nächste Schritt die Cauchy-Riemann Dgl zu betrachten:
also soll:
[mm] \partial_{x}u(x,y)=\partial_{y}v(x,y)
[/mm]
[mm] \partial_{y}u(x,y)=-\partial_{x}v{x,y}
[/mm]
Aber wenn ich das richigt verstehe, dann habe ich
[mm] \partial_{x}u(x,y)=2x \not= 0=\partial_{y}v(x,y)
[/mm]
ausser für x=0
[mm] \partial_{y}u(x,y)=2y \not= 0=\partial_{x}v{x,y}
[/mm]
ausser y=0
Nur denke ich, dass ich hier etwas durcheinanderbringe, oder?
Oder kann ich nun einfach folgern, die G-R DGL nicht zutreffen (was ja äquivalent wäre zur komplexen Diffbarkeit)? Bin ziemlich verwirrt.. Und wäre sehr froh um Tipps!
Vielen Dank für eure Hilfe!!
Ersti
p.s. ich habe die Frage in keinem anderen Forum gepostet.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:54 So 07.10.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Ersti,
deine Überlegungen sind richtig. Wenn di Cauchy-Riemann-DGLen nicht erfüllt sind, ist die Funktion nicht komplex differenzierbar.
Ich versteh deine Unsicherheit bei [mm]v(x,y)=0[/mm]. Auch ich finde die Aufgabe ein bischen missverständlich, denn eigentlich bezieht sich komplexe Differenzierbarkeit auf Funktionen von [mm]\IR^2[/mm] nach [mm]\IR^2[/mm] (per Isomorphie von [mm]\IC[/mm] und [mm]\IR^2[/mm]). Die vorliegende Funktion hat aber als Wertebereich [mm]\IR[/mm].
Übrigens gibt es noch einen anderen Trick (der äquivalent zu den C-R-DGLen ist): Schreibe statt x und y: [mm]z=x+iy[/mm] und [mm]\bar z=x-iy[/mm], also
[mm] x=\bruch{1}{2}(z+\bar z),\quad y = \bruch{1}{2i}(z-\bar z)[/mm]
Wenn du das in die Funktion [mm]f(x,y)[/mm] einsetzt, muss die Abhängigkeit von [mm]\bar z[/mm] herausfallen und nur z übrigbleiben. Man kann nach dieser Variablentransformation die C-R-DGLen in der Form
[mm]\bruch{\partial f(z,\bar z)}{\partial\bar z} =0[/mm]
schreiben. (Nachweis per Kettenregel und Zerlegen in Real- und Imaginärteil)
Viele Grüße
Rainer
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Vielen lieben Dank für die netten Erklärungen..
Ich glaube es hat nun geklappt =)
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