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komplexe Analysis: Reihendarstellung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:05 Sa 05.05.2007
Autor: Max1603

Aufgabe
Hallo alles zusammen !!!
kann mir vielleicht jemand einen Tipp geben wie ich [mm] $(cos(z))^n$ [/mm] und
[mm] $(sin(z))^n$ [/mm] als Linearkombination der Funktionen cos(kz) und sin(kz) darstellen kann???
Wobei k=0,1,2,....n naja n ist eine natürliche Zahl und z eine komplexe

Ich wollte die Aufgabe erst folgendermaßen lösen.

wir wissen ja wie sin(z) und cos(z) nach Eurer aussehen.
Die Potenz n ist ja außen, also habe ich mir gedacht, dass ich dies
mit der binomischen Reihe darstellen kann. so habe ich auch die Möglichkeit k in das Argument von cos und sin reinzubekommen. Aber naja das klappt irgendwie nicht. vielleicht bin ich schon zu müde.

Falls jemand von euch Tipps hat wie ich dies lösen kann, wäre ich
sehr dankbar :-)

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt

        
Bezug
komplexe Analysis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:29 Sa 05.05.2007
Autor: wauwau

Ich glaube du hast recht

[mm] (cos(z))^n =(\bruch{e^{iz}+e^{-iz}}{2})^n [/mm] =

mit dem Binomischen Lehrsatz auf zwei Arten entwickeln

[mm]\summe_{k=0}^{n}\binom{n}{k}*e^{ikz}*e^{-i(n-k)z} = \summe_{k=0}^{n}\binom{n}{k}*e^{i(2k-n)z}[/mm] (1)
aber auch
[mm]\summe_{k=0}^{n}\binom{n}{k}*e^{i(n-k)z}*e^{-ikz} = \summe_{k=0}^{n}\binom{n}{k}*e^{-i(2k-n)z} [/mm] (2)

arithm Mittel

[mm] (cos(z))^n [/mm]  = [mm] \bruch{1}{2^{n}}\bruch{(1)+(2)}{2} [/mm] =
= [mm] \bruch{1}{2^{n}}\summe_{k=0}^{n}\binom{n}{k}*cos((n-2k)z) [/mm]

Bezug
                
Bezug
komplexe Analysis: Korrektur
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:23 So 06.05.2007
Autor: Max1603

Danke wauwau für den Lösungsvorschlag, sieht echt gut aus

ich möchte aber dennoch was anmerken
ganz unten rechts, im Argument von cos, müsste anstatt
  
    n - 2k
    2k - n    stehen

ich glaube aber es ist auch egal, man kommt bestimmt auf das gleiche.

aber Formal müsste es genau umgekehrt sein

naja ok danke nochmal

Bezug
                        
Bezug
komplexe Analysis: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:35 Mo 07.05.2007
Autor: wauwau

cos(-x)=cox(x)!!!!

Bezug
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