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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:37 Mi 11.05.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo ihr!
Hier eine meiner Aufgaben:
Zeige, dass die Funktion
[mm] f(z):=\bruch{az+b}{cz+d}, (a,b,c,d\in\IC; c\not=0; ad-bc\not= [/mm] 0)
eine bijektive komplex differenzierbare Abbildung von [mm] \IC\backslach\{-d/c\} [/mm] auf [mm] \IC\backslash\{a/c\} [/mm] ist, und dass die Umkehrabbildung ebenfalls komplex differenzierbar ist.
Also, dass sie komplex diffbar ist, habe ich schon gezeigt. Wie aber zeige ich bei einer komplexen Funktion, dass sie bijektiv ist? Im Reellen konnte ich mir das immer irgendwie vorstellen, und dann ggf. einen Gegenbeweis bringen oder so, aber im Komplexen?
Und wie berechnet man die Umkehrabbildung von einer komplexen Funktion?
(Sollte es da irgendwelche Sätze für geben, würde mir erstmal ein Stichwort reichen, da ich leider noch nicht dazu gekommen bin, die letzten beiden Vorlesungen komplett nachzuarbeiten... :-/)
Und noch eine Frage:
Von wo nach wo die Abbildung geht, ist das auch zu beweisen? Also der Definitionsbereich ist ja klar, aber wie kommt man auf den Wertebereich? Und warum ist bei der Funktion noch [mm] ad-bc\not= [/mm] 0 vorausgesetzt?
Wär schön, wenn mir jemand ein paar Tipps geben könnte...
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:31 Do 12.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
Zunächst mal: Die Stichworte heißen Möbiustransformation oder gebrochen lineare Transformation. Dazu solltest du eine Menge im Internet finden. Es handelt sich hier gerade um die Automorphismengruppe von [mm] $\hat{\IC}$ [/mm] (wobei [mm] $\hat{\IC}= \IC \cup \{\infty\}$ [/mm] die Riemannsche Zahlensphäre, also die Alexandroff-Einpunkt-Kompaktifizierung von [mm] $\IC$ [/mm] ist).
Die Voraussetzung $ad-bc [mm] \ne [/mm] 0$ gewährleistet, dass der Nenner nicht identisch verschwindet und dass der Zähler kein konstantes Vielfaches des Nenners ist; in beiden Fällen wäre $f$ natürlich nicht bijektiv!
Die Voraussetzung [mm] $ad-bc\ne [/mm] 0$ wird dich an die Forderung des Nichtverschwindens einer Determinante einer $2 [mm] \times [/mm] 2$-Matrix erinnern - und das ist kein Zufall!
Man kann nämlich zeigen, dass durch
[mm] $\begin{array}{ccc} GL(2,\IC) & \to & Aut(\hat{\IC}) \\[5pt] \pmat{ a & b \\ c & d} & \mapsto & \left\{ \begin{array}{ccc} \hat{\IC} & \to & \hat{\IC} \\[5pt] z & \mapsto & \frac{az+b}{cz+d} \end{array} \right\}\end{array}$
[/mm]
ein natürlicher surjektiver Gruppenhomomorphismus geliefert wird, wobei der Kern gerade das Zentrum von [mm] $GL(2,\IC)$ [/mm] ist.
Damit ist auch ohne jede Rechnung klar, wie die Umkehrabbildung von $f$ aussieht; aber vermutlich verstehst du das jetzt (noch!  , nicht, dass ich wieder falsch verstanden werde...) nicht, daher erkläre ich es jetzt noch einmal elementar.
Wie zeigst du denn die Bijektivität einer Funktion? Naja, klar: Indem du, wie immer, zeigst, dass die Funktion injektiv und surjektiv ist. Beides ist hier nicht wirklich schwer. Da du aber anscheinend nicht mehr viel Zeit hast, wenn ich die Fälligkeit richtig interpretiere, gebe ich die Umkehrfunktion einfach an und du musst nur nachweisen, dass es sich tatsächlich um die Umkehrfunktion handelt: indem du
$f [mm] \circ f^{-1} [/mm] = [mm] id_{\IC \setminus\{\frac{a}{c}\}}$ [/mm]
und
[mm] $f^{-1} \circ [/mm] f = [mm] id_{\IC \setminus\{-\frac{d}{c}\}}$ [/mm]
nachrechnest. Also: Die eine Funktion jeweils in die andere einsetzen und dann schauen, ob insgesamt "$z$" rauskommt.
Hier die Umkehrfunktion:
[mm] $f^{-1}(z) [/mm] = [mm] \frac{dz-b}{-cz+a}$.
[/mm]
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:13 Do 12.05.2005 | | Autor: | Bastiane |
Lieber Stefan!
> Zunächst mal: Die Stichworte heißen Möbiustransformation
> oder gebrochen lineare Transformation. Dazu solltest du
> eine Menge im Internet finden. Es handelt sich hier gerade
> um die Automorphismengruppe von [mm]\hat{\IC}[/mm] (wobei [mm]\hat{\IC}= \IC \cup \{\infty\}[/mm]
> die Riemannsche Zahlensphäre, also die
> Alexandroff-Einpunkt-Kompaktifizierung von [mm]\IC[/mm] ist).
Danke. Ich glaube zwar, dass wir das ganz bestimmt noch nicht in der Vorlesung hatten, aber nächste Woche sind ja Pfingstferien, da habe ich mir eigentlich vorgenommen, schon mal die bisherigen Ana-Sachen zu wiederholen. Aber du weißt ja, wie das so mit Vorsätzen ist... Vielleicht kannst du mich einmal täglich per PN daran erinnern, dass ich doch dringend was tun wollte? 
> Die Voraussetzung [mm]ad-bc \ne 0[/mm] gewährleistet, dass der
> Nenner nicht identisch verschwindet und dass der Zähler
> kein konstantes Vielfaches des Nenners ist; in beiden
> Fällen wäre [mm]f[/mm] natürlich nicht bijektiv!
>
> Die Voraussetzung [mm]ad-bc\ne 0[/mm] wird dich an die Forderung des
> Nichtverschwindens einer Determinante einer [mm]2 \times 2[/mm]-Matrix
> erinnern - und das ist kein Zufall!
>
> Man kann nämlich zeigen, dass durch
>
> [mm]\begin{array}{ccc} GL(2,\IC) & \to & Aut(\hat{\IC}) \\[5pt] \pmat{ a & b \\ c & d} & \mapsto & \left\{ \begin{array}{ccc} \hat{\IC} & \to & \hat{\IC} \\[5pt] z & \mapsto & \frac{az+b}{cz+d} \end{array} \right\}\end{array}[/mm]
>
> ein natürlicher surjektiver Gruppenhomomorphismus geliefert
> wird, wobei der Kern gerade das Zentrum von [mm]GL(2,\IC)[/mm] ist.
>
> Damit ist auch ohne jede Rechnung klar, wie die
> Umkehrabbildung von [mm]f[/mm] aussieht; aber vermutlich verstehst
> du das jetzt (noch! , nicht, dass ich wieder falsch
> verstanden werde...) nicht, daher erkläre ich es jetzt noch
> einmal elementar.
In der Tat! Als ich den Anfang deiner Antwort gelesen hatten, dachte ich mir echt: Okay, diese Aufgabe machst du wohl besser doch nicht! Sonst sitzt du hier den ganzen schönen Abend (bei mir scheint die Sonne so schön ins Fenster ![[sunny]](/images/smileys/sunny.gif "[sunny]") ) und bekommst es womöglich am Ende doch nicht hin...
> Wie zeigst du denn die Bijektivität einer Funktion? Naja,
> klar: Indem du, wie immer, zeigst, dass die Funktion
> injektiv und surjektiv ist. Beides ist hier nicht wirklich
> schwer. Da du aber anscheinend nicht mehr viel Zeit hast,
> wenn ich die Fälligkeit richtig interpretiere, gebe ich die
> Umkehrfunktion einfach an und du musst nur nachweisen, dass
> es sich tatsächlich um die Umkehrfunktion handelt: indem
> du
>
> [mm]f \circ f^{-1} = id_{\IC \setminus\{\frac{a}{c}\}}[/mm]
>
> und
>
> [mm]f^{-1} \circ f = id_{\IC \setminus\{-\frac{d}{c}\}}[/mm]
>
> nachrechnest. Also: Die eine Funktion jeweils in die andere
> einsetzen und dann schauen, ob insgesamt "[mm]z[/mm]" rauskommt.
Nach anfänglichen Schwierigkeiten, die ich mir dann mit meiner Lieblingsfunktion, was Umkehrabbildungen angeht, erklärt habe, habe ich das dann auch hinbekommen. (Ich war so blöd, dass ich nicht mehr wirklich wusste, wie ich das denn da jetzt einsetzen muss...)
> Hier die Umkehrfunktion:
>
> [mm]f^{-1}(z) = \frac{dz-b}{-cz+a}[/mm].
Und auch die komplexe Diffbarkeit habe ich jetzt gezeigt (nachdem ich mich natürlich wieder mal verrechnet hatte...).
Vielen Dank für die Funktion - du hast es richtig interpretiert, ich muss die Aufgabe morgen abgeben. Hoffentlich schaffe ich es demnächst, mal etwas früher damit anzufangen, dann werde ich auch hoffentlich etwas mehr selber schaffen.
Viele Grüße und bis morgen
Christiane
![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]")
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:04 Mi 13.07.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
Haben wir
[mm] $z=\frac{aw+b}{cw+d}$
[/mm]
und lösen nach $w$ auf:
$zcw+dz=aw+b [mm] \quad \Leftrightarrow \quad [/mm] dz-b = w(-cz+a) [mm] \quad \Leftrightarrow \quad [/mm] w = [mm] \frac{dz-b}{-cz+a}$,
[/mm]
so erhält man die Umkehrfunktion
[mm] $f^{-1}(z) [/mm] = [mm] \frac{dz-b}{-cz+a}$.
[/mm]
Liebe Grüße
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:56 Do 12.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
Ja.
Man kann zeigen (meist Stoff des ersten Semesters):
Eine Funktion $f:X [mm] \to [/mm] Y$ ist genau dann injektiv, wenn es eine Funktion ("Linksinverse") $g:Y [mm] \to [/mm] X$ gibt mit $g [mm] \circ [/mm] f = [mm] id_X$.
[/mm]
Eine Funktion $f:X [mm] \to [/mm] Y$ ist genau dann surjektiv, wenn es eine Funktion ("Rechtsinverse") $g:Y [mm] \to [/mm] X$ gibt mit $f [mm] \circ [/mm] g = [mm] id_Y$.
[/mm]
Aus beidem zusammen folgt:
Eine Funktion $f:X [mm] \to [/mm] Y$ ist genau dann bijektiv, wenn es eine Funktion ("Inverse") $g:Y [mm] \to [/mm] X$ gibt mit $g [mm] \circ f=id_X$ [/mm] und $f [mm] \circ g=id_Y$.
[/mm]
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:28 Fr 13.05.2005 | | Autor: | Bastiane |
Lieber Stefan!
Stimmt - das haben wir glaube ich damals auch zeigen müssen. Danke.
Viele Grüße
Christiane
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![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]"){kind=small}
![[bonk]](/images/smileys/bonk.gif "[bonk]"){kind=small}
